MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkonwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkonwlk1l 26540
Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkonwlk1l.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkonwlk1l (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkonwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkonwlk1l.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqidd 2621 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 wlklenvm1 26498 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
43fveq2d 6182 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
5 eqid 2620 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
65wlkpwrd 26494 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 lsw 13334 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
94, 8eqtr4d 2657 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
101, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
11 wlkcl 26492 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11317 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14 wlklenvp1 26495 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
1513, 6, 14jca32 557 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))))
16 fstwrdne0 13328 . . . . . . 7 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17 lswlgt0cl 13339 . . . . . . 7 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
1816, 17jca 554 . . . . . 6 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20 eqid 2620 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2120wlkf 26491 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22 wrdv 13303 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 557 . . . 4 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
265iswlkon 26534 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1243 1 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cmin 10251  cn 11005  0cn0 11277  #chash 13100  Word cword 13274   lastS clsw 13275  Vtxcvtx 25855  iEdgciedg 25856  Walkscwlks 26473  WalksOncwlkson 26474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-lsw 13283  df-wlks 26476  df-wlkson 26477
This theorem is referenced by:  3wlkond  27011
  Copyright terms: Public domain W3C validator