Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xdivrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xdivrec 29763
 Description: Relationship between division and reciprocal. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
xdivrec ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))

Proof of Theorem xdivrec
StepHypRef Expression
1 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
21rexrd 10127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
54rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ*)
7 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
86, 1, 7xdivcld 29759 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
93, 8xmulcld 12170 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*)
10 xmulcom 12134 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
112, 9, 10syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵))
12 xmulass 12155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
133, 8, 2, 12syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ·e 𝐵) = (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)))
14 xmulcom 12134 . . . . . . 7 (((1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
158, 2, 14syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵)
17 xdivmul 29761 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ* ∧ (1 /𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
186, 8, 1, 7, 17syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) = (1 /𝑒 𝐵) ↔ (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1))
1916, 18mpbii 223 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐵)) = 1)
2015, 19eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵) = 1)
2120oveq2d 6706 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e ((1 /𝑒 𝐵) ·e 𝐵)) = (𝐴 ·e 1))
2211, 13, 213eqtrd 2689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = (𝐴 ·e 1))
23 xmulid1 12147 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
243, 23syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ·e 1) = 𝐴)
2522, 24eqtrd 2685 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴)
26 xdivmul 29761 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
273, 9, 1, 7, 26syl112anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)) ↔ (𝐵 ·e (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵))) = 𝐴))
2825, 27mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 /𝑒 𝐵) = (𝐴 ·e (1 /𝑒 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   ·e cxmu 11983   /𝑒 cxdiv 29753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-xneg 11984  df-xmul 11986  df-xdiv 29754 This theorem is referenced by:  esumdivc  30273
 Copyright terms: Public domain W3C validator