Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumdivc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumdivc 30375
 Description: An extended sum divided by a constant. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
esumdivc.a (𝜑𝐴𝑉)
esumdivc.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
esumdivc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
esumdivc (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem esumdivc
StepHypRef Expression
1 esumdivc.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 esumdivc.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3 1red 10168 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4 esumdivc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
54rpred 11986 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
64rpne0d 11991 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ 0)
7 rexdiv 29864 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
83, 5, 6, 7syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) = (1 / 𝐶))
9 ioorp 12365 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
10 ioossico 12376 . . . . . 6 (0(,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
119, 10eqsstr3i 3742 . . . . 5 + ⊆ (0[,)+∞)
124rpreccld 11996 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ+)
1311, 12sseldi 3707 . . . 4 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
148, 13eqeltrd 2803 . . 3 (𝜑 → (1 /𝑒 𝐶) ∈ (0[,)+∞))
151, 2, 14esummulc1 30373 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
16 iccssxr 12370 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
172ralrimiva 3068 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
18 nfcv 2866 . . . . . 6 𝑘𝐴
1918esumcl 30322 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
201, 17, 19syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2116, 20sseldi 3707 . . 3 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*)
22 xdivrec 29865 . . 3 ((Σ*𝑘𝐴𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2321, 5, 6, 22syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = (Σ*𝑘𝐴𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2416, 2sseldi 3707 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
255adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
266adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
27 xdivrec 29865 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1439 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 /𝑒 𝐶) = (𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
2928esumeq2dv 30330 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 ·e (1 /𝑒 𝐶)))
3015, 23, 293eqtr4d 2768 1 (𝜑 → (Σ*𝑘𝐴𝐵 /𝑒 𝐶) = Σ*𝑘𝐴(𝐵 /𝑒 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  (class class class)co 6765  ℝcr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  +∞cpnf 10184  ℝ*cxr 10186   / cdiv 10797  ℝ+crp 11946   ·e cxmu 12059  (,)cioo 12289  [,)cico 12291  [,]cicc 12292   /𝑒 cxdiv 29855  Σ*cesum 30319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-ordt 16284  df-xrs 16285  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-ps 17322  df-tsr 17323  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-ntr 20947  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-tsms 22052  df-xdiv 29856  df-esum 30320 This theorem is referenced by:  measdivcstOLD  30517  measdivcst  30518
 Copyright terms: Public domain W3C validator