Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifcv 30289
Description: The defined function's value in the real. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifcv (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Distinct variable group:   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifcv
StepHypRef Expression
1 iocssicc 12454 . . . 4 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
21sseli 3740 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
3 eqeq1 2764 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
4 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
54negeqd 10467 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
63, 5ifbieq2d 4255 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
7 xrge0iifhmeo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
8 pnfex 10285 . . . . 5 +∞ ∈ V
9 negex 10471 . . . . 5 -(log‘𝑋) ∈ V
108, 9ifex 4300 . . . 4 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
116, 7, 10fvmpt 6444 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
122, 11syl 17 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
13 0xr 10278 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
14 1re 10231 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
15 elioc2 12429 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1)))
1613, 14, 15mp2an 710 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0(,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑋𝑋 ≤ 1))
1716simp2bi 1141 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝑋)
1817gt0ne0d 10784 . . . 4 (𝑋 ∈ (0(,]1) → 𝑋 ≠ 0)
1918neneqd 2937 . . 3 (𝑋 ∈ (0(,]1) → ¬ 𝑋 = 0)
2019iffalsed 4241 . 2 (𝑋 ∈ (0(,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) = -(log‘𝑋))
2112, 20eqtrd 2794 1 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  -cneg 10459  (,]cioc 12369  [,]cicc 12371  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-neg 10461  df-ioc 12373  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  xrge0iifiso  30290  xrge0iifhom  30292
  Copyright terms: Public domain W3C validator