Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhom 29104
Description: The defined function from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is also a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhom ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhom
StepHypRef Expression
1 0xr 9942 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
32rexri 9948 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
4 0le1 10402 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 snunioc 12129 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
61, 3, 4, 5mp3an 1415 . . . . 5 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
76eleq2i 2679 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1))
8 elun 3714 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
97, 8bitr3i 264 . . 3 (𝑌 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
10 elsni 4141 . . . 4 (𝑌 ∈ {0} → 𝑌 = 0)
1110orim1i 537 . . 3 ((𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
129, 11sylbi 205 . 2 (𝑌 ∈ (0[,]1) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
13 0elunit 12119 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
14 iftrue 4041 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
15 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
16 pnfex 11784 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6175 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) = +∞
1918oveq2i 6537 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞)
20 eqeq1 2613 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
21 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
2221negeqd 10126 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
2320, 22ifbieq2d 4060 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
24 negex 10130 . . . . . . . . . . 11 -(log‘𝑋) ∈ V
2516, 24ifex 4105 . . . . . . . . . 10 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
2623, 15, 25fvmpt 6175 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
27 pnfxr 11783 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ∈ ℝ*)
29 elunitrn 29064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
31 elunitge0 29066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑋)
3231adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ≤ 𝑋)
33 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
3433neqned 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
3530, 32, 34ne0gt0d 10025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 < 𝑋)
3630, 35elrpd 11703 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3736relogcld 24117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
3837renegcld 10308 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
3938rexrd 9945 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ*)
4028, 39ifclda 4069 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4126, 40eqeltrd 2687 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
4241adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
43 neeq1 2843 . . . . . . . . . 10 (+∞ = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (+∞ ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
44 neeq1 2843 . . . . . . . . . 10 (-(log‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (-(log‘𝑋) ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
45 pnfnemnf 11788 . . . . . . . . . . 11 +∞ ≠ -∞
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ≠ -∞)
4738renemnfd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ≠ -∞)
4843, 44, 46, 47ifbothda 4072 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞)
4926, 48eqnetrd 2848 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
5049adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
51 xaddpnf1 11892 . . . . . . 7 (((𝐹𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑋) ≠ -∞) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5242, 50, 51syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5319, 52syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = +∞)
54 unitsscn 29063 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
55 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
5654, 55sseldi 3565 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5756mul01d 10086 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
5857fveq2d 6091 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = (𝐹‘0))
5958, 18syl6eq 2659 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = +∞)
6053, 59eqtr4d 2646 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
61 simpr 475 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
6261fveq2d 6091 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑌) = (𝐹‘0))
6362oveq2d 6542 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)))
6461oveq2d 6542 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
6564fveq2d 6091 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
6660, 63, 653eqtr4rd 2654 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
676eleq2i 2679 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑋 ∈ (0[,]1))
68 elun 3714 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
6967, 68bitr3i 264 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
70 elsni 4141 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {0} → 𝑋 = 0)
7170orim1i 537 . . . . 5 ((𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7269, 71sylbi 205 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7318oveq1i 6536 . . . . . . . 8 ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌))
74 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
7515xrge0iifcv 29101 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) = -(log‘𝑌))
76 0le0 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
77 ltpnf 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
782, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < +∞
79 iocssioo 12092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
801, 27, 76, 78, 79mp4an 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
81 ioorp 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
8280, 81sseqtri 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]1) ⊆ ℝ+
8382sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (0(,]1) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8483relogcld 24117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
8584renegcld 10308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
8675, 85eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
8786rexrd 9945 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8874, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8986renemnfd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
9074, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
91 xaddpnf2 11893 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑌) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9373, 92syl5eq 2655 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
94 rpssre 11677 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
9582, 94sstri 3576 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ ℝ
96 ax-resscn 9849 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
9795, 96sstri 3576 . . . . . . . . . . 11 (0(,]1) ⊆ ℂ
9897, 74sseldi 3565 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
9998mul02d 10085 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (0 · 𝑌) = 0)
10099fveq2d 6091 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = (𝐹‘0))
101100, 18syl6eq 2659 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = +∞)
10293, 101eqtr4d 2646 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
103 simpl 471 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 = 0)
104103fveq2d 6091 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘0))
105104oveq1d 6541 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)))
106103oveq1d 6541 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
107106fveq2d 6091 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
108102, 105, 1073eqtr4rd 2654 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
109 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0(,]1))
11082, 109sseldi 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
111110relogcld 24117 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
112111renegcld 10308 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
113 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
11482, 113sseldi 3565 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
115114relogcld 24117 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
116115renegcld 10308 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
117 rexadd 11898 . . . . . . 7 ((-(log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ -(log‘𝑌) ∈ ℝ) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
118112, 116, 117syl2anc 690 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
11915xrge0iifcv 29101 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
120119, 75oveqan12d 6545 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)))
121110rpred 11706 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
122114rpred 11706 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
123121, 122remulcld 9926 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
124110rpgt0d 11709 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑋)
125114rpgt0d 11709 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑌)
126121, 122, 124, 125mulgt0d 10043 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < (𝑋 · 𝑌))
127 iocssicc 12090 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
128127, 109sseldi 3565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
129127, 113sseldi 3565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
130 iimulcl 22491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
131128, 129, 130syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
132 0re 9896 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
133132, 2elicc2i 12068 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
134133simp3bi 1070 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
135131, 134syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
136 elioc2 12065 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)))
1371, 2, 136mp2an 703 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
138123, 126, 135, 137syl3anbrc 1238 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1))
13915xrge0iifcv 29101 . . . . . . . 8 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
140138, 139syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
141110, 114relogmuld 24119 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘(𝑋 · 𝑌)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
142141negeqd 10126 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘(𝑋 · 𝑌)) = -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
143111recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
144115recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
145143, 144negdid 10256 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
146140, 142, 1453eqtrd 2647 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
147118, 120, 1463eqtr4rd 2654 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
148108, 147jaoian 819 . . . 4 (((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14972, 148sylan 486 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
15066, 149jaodan 821 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1))) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
15112, 150sylan2 489 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cun 3537  wss 3539  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  -cneg 10118  +crp 11666   +𝑒 cxad 11778  (,)cioo 12004  (,]cioc 12005  [,]cicc 12007  t crest 15852  ordTopcordt 15930  logclog 24049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ioo 12008  df-ioc 12009  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880  df-bc 12909  df-hash 12937  df-shft 13603  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-limsup 13998  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-sum 14213  df-ef 14585  df-sin 14587  df-cos 14588  df-pi 14590  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-starv 15731  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-unif 15740  df-hom 15741  df-cco 15742  df-rest 15854  df-topn 15855  df-0g 15873  df-gsum 15874  df-topgen 15875  df-pt 15876  df-prds 15879  df-xrs 15933  df-qtop 15938  df-imas 15939  df-xps 15941  df-mre 16017  df-mrc 16018  df-acs 16020  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-submnd 17107  df-mulg 17312  df-cntz 17521  df-cmn 17966  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-cnfld 19516  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-topsp 20471  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lp 20697  df-perf 20698  df-cn 20788  df-cnp 20789  df-haus 20876  df-tx 21122  df-hmeo 21315  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-xms 21882  df-ms 21883  df-tms 21884  df-cncf 22436  df-limc 23380  df-dv 23381  df-log 24051
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  29106  xrge0pluscn  29107
  Copyright terms: Public domain W3C validator