Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0iifhom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0iifhom 30111
Description: The defined function from the closed unit interval and the extended nonnegative reals is also a monoid homomorphism. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0iifhmeo.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
xrge0iifhmeo.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0iifhom ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0iifhom
StepHypRef Expression
1 0xr 10124 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
2 1re 10077 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
32rexri 10135 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
4 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 snunioc 12338 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1))
61, 3, 4, 5mp3an 1464 . . . . 5 ({0} ∪ (0(,]1)) = (0[,]1)
76eleq2i 2722 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑌 ∈ (0[,]1))
8 elun 3786 . . . 4 (𝑌 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
97, 8bitr3i 266 . . 3 (𝑌 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
10 elsni 4227 . . . 4 (𝑌 ∈ {0} → 𝑌 = 0)
1110orim1i 538 . . 3 ((𝑌 ∈ {0} ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
129, 11sylbi 207 . 2 (𝑌 ∈ (0[,]1) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1)))
13 0elunit 12328 . . . . . . . 8 0 ∈ (0[,]1)
14 iftrue 4125 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = +∞)
15 xrge0iifhmeo.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)))
16 pnfex 10131 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ V
1714, 15, 16fvmpt 6321 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘0) = +∞)
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐹‘0) = +∞
1918oveq2i 6701 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞)
20 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
21 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (log‘𝑥) = (log‘𝑋))
2221negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑋))
2320, 22ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
24 negex 10317 . . . . . . . . . . 11 -(log‘𝑋) ∈ V
2516, 24ifex 4189 . . . . . . . . . 10 if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ V
2623, 15, 25fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)))
27 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ∈ ℝ*)
29 elunitrn 30071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 𝑋 ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ)
31 elunitge0 30073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑋)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 ≤ 𝑋)
33 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → ¬ 𝑋 = 0)
3433neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ≠ 0)
3530, 32, 34ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 0 < 𝑋)
3630, 35elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → 𝑋 ∈ ℝ+)
3736relogcld 24414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
3837renegcld 10495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
3938rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ*)
4028, 39ifclda 4153 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ∈ ℝ*)
4126, 40eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ*)
43 neeq1 2885 . . . . . . . . . 10 (+∞ = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (+∞ ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
44 neeq1 2885 . . . . . . . . . 10 (-(log‘𝑋) = if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) → (-(log‘𝑋) ≠ -∞ ↔ if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞))
45 pnfnemnf 10132 . . . . . . . . . . 11 +∞ ≠ -∞
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 = 0) → +∞ ≠ -∞)
4738renemnfd 10129 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → -(log‘𝑋) ≠ -∞)
4843, 44, 46, 47ifbothda 4156 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (0[,]1) → if(𝑋 = 0, +∞, -(log‘𝑋)) ≠ -∞)
4926, 48eqnetrd 2890 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑋) ≠ -∞)
51 xaddpnf1 12095 . . . . . . 7 (((𝐹𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑋) ≠ -∞) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5242, 50, 51syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 +∞) = +∞)
5319, 52syl5eq 2697 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = +∞)
54 unitsscn 30070 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℂ
55 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
5654, 55sseldi 3634 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
5756mul01d 10273 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 0) = 0)
5857fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = (𝐹‘0))
5958, 18syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 0)) = +∞)
6053, 59eqtr4d 2688 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
61 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → 𝑌 = 0)
6261fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹𝑌) = (𝐹‘0))
6362oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹‘0)))
6461oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 0))
6564fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 0)))
6660, 63, 653eqtr4rd 2696 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 = 0) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
676eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ 𝑋 ∈ (0[,]1))
68 elun 3786 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ({0} ∪ (0(,]1)) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
6967, 68bitr3i 266 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
70 elsni 4227 . . . . . 6 (𝑋 ∈ {0} → 𝑋 = 0)
7170orim1i 538 . . . . 5 ((𝑋 ∈ {0} ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7269, 71sylbi 207 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,]1) → (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)))
7318oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌))
74 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
7515xrge0iifcv 30108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) = -(log‘𝑌))
76 0le0 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 0
77 ltpnf 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
782, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < +∞
79 iocssioo 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞))
801, 27, 76, 78, 79mp4an 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,]1) ⊆ (0(,)+∞)
81 ioorp 12289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0(,)+∞) = ℝ+
8280, 81sseqtri 3670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]1) ⊆ ℝ+
8382sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌 ∈ (0(,]1) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8483relogcld 24414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
8584renegcld 10495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ (0(,]1) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
8675, 85eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
8786rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8874, 87syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ*)
8986renemnfd 10129 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
9074, 89syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑌) ≠ -∞)
91 xaddpnf2 12096 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑌) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑌) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9288, 90, 91syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (+∞ +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
9373, 92syl5eq 2697 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = +∞)
94 rpssre 11881 . . . . . . . . . . . . 13 + ⊆ ℝ
9582, 94sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ ℝ
96 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
9795, 96sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 (0(,]1) ⊆ ℂ
9897, 74sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℂ)
9998mul02d 10272 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (0 · 𝑌) = 0)
10099fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = (𝐹‘0))
101100, 18syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(0 · 𝑌)) = +∞)
10293, 101eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
103 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 = 0)
104103fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘0))
105104oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = ((𝐹‘0) +𝑒 (𝐹𝑌)))
106103oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
107106fveq2d 6233 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(0 · 𝑌)))
108102, 105, 1073eqtr4rd 2696 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
109 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0(,]1))
11082, 109sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
111110relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
112111renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑋) ∈ ℝ)
113 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0(,]1))
11482, 113sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
115114relogcld 24414 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℝ)
116115renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘𝑌) ∈ ℝ)
117 rexadd 12101 . . . . . . 7 ((-(log‘𝑋) ∈ ℝ ∧ -(log‘𝑌) ∈ ℝ) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
118112, 116, 117syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
11915xrge0iifcv 30108 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0(,]1) → (𝐹𝑋) = -(log‘𝑋))
120119, 75oveqan12d 6709 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)) = (-(log‘𝑋) +𝑒 -(log‘𝑌)))
121110rpred 11910 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
122114rpred 11910 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
123121, 122remulcld 10108 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
124110rpgt0d 11913 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑋)
125114rpgt0d 11913 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < 𝑌)
126121, 122, 124, 125mulgt0d 10230 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 0 < (𝑋 · 𝑌))
127 iocssicc 12299 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]1) ⊆ (0[,]1)
128127, 109sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
129127, 113sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → 𝑌 ∈ (0[,]1))
130 iimulcl 22783 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
131128, 129, 130syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1))
132 0re 10078 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
133132, 2elicc2i 12277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
134133simp3bi 1098 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0[,]1) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
135131, 134syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)
136 elioc2 12274 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1)))
1371, 2, 136mp2an 708 . . . . . . . . 9 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) ↔ ((𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑋 · 𝑌) ∧ (𝑋 · 𝑌) ≤ 1))
138123, 126, 135, 137syl3anbrc 1265 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1))
13915xrge0iifcv 30108 . . . . . . . 8 ((𝑋 · 𝑌) ∈ (0(,]1) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
140138, 139syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = -(log‘(𝑋 · 𝑌)))
141110, 114relogmuld 24416 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘(𝑋 · 𝑌)) = ((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
142141negeqd 10313 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -(log‘(𝑋 · 𝑌)) = -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)))
143111recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑋) ∈ ℂ)
144115recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (log‘𝑌) ∈ ℂ)
145143, 144negdid 10443 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → -((log‘𝑋) + (log‘𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
146140, 142, 1453eqtrd 2689 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (-(log‘𝑋) + -(log‘𝑌)))
147118, 120, 1463eqtr4rd 2696 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (0(,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
148108, 147jaoian 841 . . . 4 (((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 ∈ (0(,]1)) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
14972, 148sylan 487 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0(,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
15066, 149jaodan 843 . 2 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ (0(,]1))) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
15112, 150sylan2 490 1 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑌 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) +𝑒 (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cun 3605  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  +crp 11870   +𝑒 cxad 11982  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,]cicc 12216  t crest 16128  ordTopcordt 16206  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  xrge0iifmhm  30113  xrge0pluscn  30114
  Copyright terms: Public domain W3C validator