Theorem 0el 3491

Description: Membership of the empty set in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2536	. 2 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A x = (/) )
2		eq0 3487	. . 3 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	rexbii 2515	. 2 |- ( E. x e. A x = (/) <-> E. x e. A A. y -. y e. x )
4	1, 3	bitri 184	1 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   E.wrex 2487   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-nul 3469

This theorem is referenced by: (None)