Theorem 0el 3519

Description: Membership of the empty set in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2561	. 2 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A x = (/) )
2		eq0 3515	. . 3 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	rexbii 2540	. 2 |- ( E. x e. A x = (/) <-> E. x e. A A. y -. y e. x )
4	1, 3	bitri 184	1 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2202   E.wrex 2512   (/)c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497

This theorem is referenced by: (None)