Theorem 0el 3426

Description: Membership of the empty set in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2492	. 2 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A x = (/) )
2		eq0 3422	. . 3 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	rexbii 2471	. 2 |- ( E. x e. A x = (/) <-> E. x e. A A. y -. y e. x )
4	1, 3	bitri 183	1 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   (/)c0 3404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-nul 3405

This theorem is referenced by: (None)