Theorem 0el 3437

Description: Membership of the empty set in another class. (Contributed by NM, 29-Jun-2004.)

Assertion

Ref	Expression
0el	|- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, y

Allowed substitution hint:   A( y)

Proof of Theorem 0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 2498	. 2 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A x = (/) )
2		eq0 3433	. . 3 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
3	2	rexbii 2477	. 2 |- ( E. x e. A x = (/) <-> E. x e. A A. y -. y e. x )
4	1, 3	bitri 183	1 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415

This theorem is referenced by: (None)