Theorem eq0 3470

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2339	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2339	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2364	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3455	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 700	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1484	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   (/)c0 3451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-nul 3452

This theorem is referenced by:  notm0  3472  nel0  3473  0el  3474  rabeq0  3481  abeq0  3482  ssdif0im  3516  inssdif0im  3519  ralf0  3554  snprc  3688  uni0b  3865  disjiun  4029  0ex  4161  dm0  4881  reldm0  4885  dmsn0  5138  dmsn0el  5140  fzo0  10261  fzouzdisj  10273