Theorem eq0 3513

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2374	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2399	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3498	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 706	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1518	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   e. wcel 2202   (/)c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-nul 3495

This theorem is referenced by:  notm0  3515  nel0  3516  0el  3517  rabeq0  3524  abeq0  3525  ssdif0im  3559  inssdif0im  3562  ralf0  3597  snprc  3734  uni0b  3918  disjiun  4083  0ex  4216  dm0  4945  reldm0  4949  dmsn0  5204  dmsn0el  5206  fzo0  10404  fzouzdisj  10416