Theorem eq0 3443

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2319	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2344	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3428	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 699	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1470	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-nul 3425

This theorem is referenced by:  notm0  3445  nel0  3446  0el  3447  rabeq0  3454  abeq0  3455  ssdif0im  3489  inssdif0im  3492  ralf0  3528  snprc  3659  uni0b  3836  disjiun  4000  0ex  4132  dm0  4843  reldm0  4847  dmsn0  5098  dmsn0el  5100  fzo0  10170  fzouzdisj  10182