Theorem eq0 3466

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2336	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2361	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3451	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 700	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1481	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3156  df-nul 3448

This theorem is referenced by:  notm0  3468  nel0  3469  0el  3470  rabeq0  3477  abeq0  3478  ssdif0im  3512  inssdif0im  3515  ralf0  3550  snprc  3684  uni0b  3861  disjiun  4025  0ex  4157  dm0  4877  reldm0  4881  dmsn0  5134  dmsn0el  5136  fzo0  10238  fzouzdisj  10250