Theorem eq0 3479

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2373	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3464	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 701	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1493	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   (/)c0 3460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-nul 3461

This theorem is referenced by:  notm0  3481  nel0  3482  0el  3483  rabeq0  3490  abeq0  3491  ssdif0im  3525  inssdif0im  3528  ralf0  3563  snprc  3698  uni0b  3875  disjiun  4039  0ex  4171  dm0  4892  reldm0  4896  dmsn0  5150  dmsn0el  5152  fzo0  10292  fzouzdisj  10304