Theorem eq0 3487

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2350	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2350	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2375	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3472	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 701	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1494	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2178   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-dif 3176  df-nul 3469

This theorem is referenced by:  notm0  3489  nel0  3490  0el  3491  rabeq0  3498  abeq0  3499  ssdif0im  3533  inssdif0im  3536  ralf0  3571  snprc  3708  uni0b  3889  disjiun  4054  0ex  4187  dm0  4911  reldm0  4915  dmsn0  5169  dmsn0el  5171  fzo0  10327  fzouzdisj  10339