Theorem eq0 3511

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2372	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2397	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3496	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 704	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1516	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   (/)c0 3492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-dif 3200  df-nul 3493

This theorem is referenced by:  notm0  3513  nel0  3514  0el  3515  rabeq0  3522  abeq0  3523  ssdif0im  3557  inssdif0im  3560  ralf0  3595  snprc  3732  uni0b  3916  disjiun  4081  0ex  4214  dm0  4943  reldm0  4947  dmsn0  5202  dmsn0el  5204  fzo0  10395  fzouzdisj  10407