ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 Unicode version

Theorem eq0 3347
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2255 . . 3  |-  F/_ x A
2 nfcv 2255 . . 3  |-  F/_ x (/)
31, 2cleqf 2279 . 2  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  (/) ) )
4 noel 3333 . . . 4  |-  -.  x  e.  (/)
54nbn 671 . . 3  |-  ( -.  x  e.  A  <->  ( x  e.  A  <->  x  e.  (/) ) )
65albii 1429 . 2  |-  ( A. x  -.  x  e.  A  <->  A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  (/) ) )
73, 6bitr4i 186 1  |-  ( A  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   (/)c0 3329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-dif 3039  df-nul 3330
This theorem is referenced by:  notm0  3349  nel0  3350  0el  3351  rabeq0  3358  abeq0  3359  ssdif0im  3393  inssdif0im  3396  ralf0  3432  snprc  3554  uni0b  3727  disjiun  3890  0ex  4015  dm0  4713  reldm0  4717  dmsn0  4964  dmsn0el  4966  fzo0  9838  fzouzdisj  9850
  Copyright terms: Public domain W3C validator