Theorem eq0 3408

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2296	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2296	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2321	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3394	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 689	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1447	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 186	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 2125   (/)c0 3390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-ext 2136

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-v 2711  df-dif 3100  df-nul 3391

This theorem is referenced by:  notm0  3410  nel0  3411  0el  3412  rabeq0  3419  abeq0  3420  ssdif0im  3454  inssdif0im  3457  ralf0  3493  snprc  3620  uni0b  3793  disjiun  3956  0ex  4087  dm0  4793  reldm0  4797  dmsn0  5046  dmsn0el  5048  fzo0  10045  fzouzdisj  10057