Theorem eq0 3540

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2417	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3525	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 711	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1523	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 187	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  notm0  3542  nel0  3543  0el  3544  rabeq0  3552  abeq0  3553  ssdif0im  3589  inssdif0imOLD  3593  ralf0  3630  snprc  3774  uni0b  3960  disjiun  4125  0ex  4260  dm0  4995  reldm0  4999  dmsn0  5255  dmsn0el  5257  fzo0  10577  fzouzdisj  10589