Theorem eq0 3347

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	|- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2255	. . 3 |- F/_ x A
2		nfcv 2255	. . 3 |- F/_ x (/)
3	1, 2	cleqf 2279	. 2 |- ( A = (/) <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
4		noel 3333	. . . 4 |- -. x e. (/)
5	4	nbn 671	. . 3 |- ( -. x e. A <-> ( x e. A <-> x e. (/) ) )
6	5	albii 1429	. 2 |- ( A. x -. x e. A <-> A. x ( x e. A <-> x e. (/) ) )
7	3, 6	bitr4i 186	1 |- ( A = (/) <-> A. x -. x e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1312   = wceq 1314   e. wcel 1463   (/)c0 3329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-dif 3039  df-nul 3330

This theorem is referenced by:  notm0  3349  nel0  3350  0el  3351  rabeq0  3358  abeq0  3359  ssdif0im  3393  inssdif0im  3396  ralf0  3432  snprc  3554  uni0b  3727  disjiun  3890  0ex  4015  dm0  4713  reldm0  4717  dmsn0  4964  dmsn0el  4966  fzo0  9838  fzouzdisj  9850