Theorem rexim 2591

Description: Theorem 19.22 of [Margaris] p. 90. (Restricted quantifier version.) (Contributed by NM, 22-Nov-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rexim	|- ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( E. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Proof of Theorem rexim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2480	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) )
2		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. A )
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> x e. A ) )
4		pm3.31 262	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ps ) )
5	3, 4	jcad 307	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. A /\ ps ) ) )
6	5	alimi 1469	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. A /\ ps ) ) )
7	1, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. A /\ ps ) ) )
8		exim 1613	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> ( x e. A /\ ps ) ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( x e. A /\ ps ) ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( E. x ( x e. A /\ ph ) -> E. x ( x e. A /\ ps ) ) )
10		df-rex 2481	. 2 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
11		df-rex 2481	. 2 |- ( E. x e. A ps <-> E. x ( x e. A /\ ps ) )
12	9, 10, 11	3imtr4g 205	1 |- ( A. x e. A ( ph -> ps ) -> ( E. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-4 1524  ax-ial 1548

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-ral 2480  df-rex 2481

This theorem is referenced by:  reximia  2592  reximdai  2595  r19.29  2634  reupick2  3450  ss2iun  3932  chfnrn  5676