Theorem ss2iun 3775

Description: Subclass theorem for indexed union. (Contributed by NM, 26-Nov-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ss2iun	|- ( A. x e. A B C_ C -> U_ x e. A B C_ U_ x e. A C )

Proof of Theorem ss2iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3041	. . . . 5 |- ( B C_ C -> ( y e. B -> y e. C ) )
2	1	ralimi 2454	. . . 4 |- ( A. x e. A B C_ C -> A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
3		rexim 2485	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) -> ( E. x e. A y e. B -> E. x e. A y e. C ) )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( A. x e. A B C_ C -> ( E. x e. A y e. B -> E. x e. A y e. C ) )
5		eliun 3764	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
6		eliun 3764	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	4, 5, 6	3imtr4g 204	. 2 |- ( A. x e. A B C_ C -> ( y e. U_ x e. A B -> y e. U_ x e. A C ) )
8	7	ssrdv 3053	1 |- ( A. x e. A B C_ C -> U_ x e. A B C_ U_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   C_ wss 3021   U_ciun 3760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-in 3027  df-ss 3034  df-iun 3762

This theorem is referenced by:  iuneq2  3776  abnexg  4305  dvfvalap  12523