Theorem zfpow 4154

Description: Axiom of Power Sets expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfpow	|- E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem zfpow

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 4153	. 2 |- E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x )
2		elequ1 2140	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) )
3		elequ1 2140	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
4	2, 3	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( w e. y -> w e. z ) <-> ( x e. y -> x e. z ) ) )
5	4	cbvalv 1905	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. y -> w e. z ) <-> A. x ( x e. y -> x e. z ) )
6	5	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
7	6	albii 1458	. . 3 |- ( A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
8	7	exbii 1593	. 2 |- ( E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
9	1, 8	mpbi 144	1 |- E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1341   E.wex 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-13 2138  ax-pow 4153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449

This theorem is referenced by:  el  4157