Theorem zfpow 4002

Description: Axiom of Power Sets expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003.)

Assertion

Ref	Expression
zfpow	|- E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem zfpow

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 4001	. 2 |- E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x )
2		elequ1 1647	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( w e. y <-> x e. y ) )
3		elequ1 1647	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( w e. z <-> x e. z ) )
4	2, 3	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( w e. y -> w e. z ) <-> ( x e. y -> x e. z ) ) )
5	4	cbvalv 1842	. . . . 5 |- ( A. w ( w e. y -> w e. z ) <-> A. x ( x e. y -> x e. z ) )
6	5	imbi1i 236	. . . 4 |- ( ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
7	6	albii 1404	. . 3 |- ( A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
8	7	exbii 1541	. 2 |- ( E. x A. y ( A. w ( w e. y -> w e. z ) -> y e. x ) <-> E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x ) )
9	1, 8	mpbi 143	1 |- E. x A. y ( A. x ( x e. y -> x e. z ) -> y e. x )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1287   E.wex 1426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-pow 4001

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395

This theorem is referenced by:  el  4005