Theorem axpow2 4162

Description: A variant of the Axiom of Power Sets ax-pow 4160 using subset notation. Problem in {BellMachover] p. 466. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
axpow2	|- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axpow2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 4160	. 2 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )
2		dfss2 3136	. . . . 5 |- ( z C_ x <-> A. w ( w e. z -> w e. x ) )
3	2	imbi1i 237	. . . 4 |- ( ( z C_ x -> z e. y ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1463	. . 3 |- ( A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1598	. 2 |- ( E. y A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 145	1 |- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1346   E.wex 1485   C_ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-pow 4160

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  axpow3  4163  vpwex  4165