Theorem axpow2 4173

Description: A variant of the Axiom of Power Sets ax-pow 4171 using subset notation. Problem in {BellMachover] p. 466. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
axpow2	|- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem axpow2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pow 4171	. 2 |- E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y )
2		dfss2 3144	. . . . 5 |- ( z C_ x <-> A. w ( w e. z -> w e. x ) )
3	2	imbi1i 238	. . . 4 |- ( ( z C_ x -> z e. y ) <-> ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
4	3	albii 1470	. . 3 |- ( A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
5	4	exbii 1605	. 2 |- ( E. y A. z ( z C_ x -> z e. y ) <-> E. y A. z ( A. w ( w e. z -> w e. x ) -> z e. y ) )
6	1, 5	mpbir 146	1 |- E. y A. z ( z C_ x -> z e. y )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1351   E.wex 1492   C_ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-pow 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  axpow3  4174  vpwex  4176