Theorem 19.21a3con13vVD 42361

Description: Virtual deduction proof of alrim3con13v 42042. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.

1::	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)    ▶   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
2::	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   )
3:2,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜓   )
4:2,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜑   )
5:2,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜒   )
6:1,4,?: e12 42233	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜑   )
7:3,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜓   )
8:5,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜒   )
9:7,6,8,?: e222 42145	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥𝜒)   )
10:9,?: e2 42140	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   )
11:10:in2	⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))   )
qed:11:in1	⊢ ((𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)))

(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
19.21a3con13vVD	⊢ ((𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem 19.21a3con13vVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn2 42122	. . . . . . 7 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   )
2		simp1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜓)
3	1, 2	e2 42140	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜓   )
4		ax-5 1914	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 → ∀𝑥𝜓)
5	3, 4	e2 42140	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜓   )
6		idn1 42083	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   )
7		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜑)
8	1, 7	e2 42140	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜑   )
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → ∀𝑥𝜑) → (𝜑 → ∀𝑥𝜑))
10	6, 8, 9	e12 42233	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜑   )
11		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → 𝜒)
12	1, 11	e2 42140	. . . . . 6 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   𝜒   )
13		ax-5 1914	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)
14	12, 13	e2 42140	. . . . 5 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥𝜒   )
15		pm3.2an3 1338	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥𝜓 → (∀𝑥𝜑 → (∀𝑥𝜒 → (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥𝜒))))
16	5, 10, 14, 15	e222 42145	. . . 4 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥𝜒)   )
17		19.26-3an 1876	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥𝜒))
18	17	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))
19	16, 18	e2 42140	. . 3 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ,   (𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   ▶   ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)   )
20	19	in2 42114	. 2 ⊢ (   (𝜑 → ∀𝑥𝜑)   ▶   ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒))   )
21	20	in1 42080	1 ⊢ ((𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ((𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜑 ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-3an 1087  df-vd1 42079  df-vd2 42087

This theorem is referenced by: (None)