Theorem ralidm 4448

Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.) Reduce axiom usage. (Revised by GG, 2-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ralidm	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Proof of Theorem ralidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 3056	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
2		df-ral 3056	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
3		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
4	3	axc4i 2333	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
5		pm2.21 123	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
6		sp 2197	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
7	5, 6	ja 187	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
8	7	alimi 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
9	4, 8	impbii 211	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
10	2	bicomi 226	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
11	10	imbi2i 338	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
12	11	albii 1827	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
13	2, 9, 12	3bitrri 300	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
14	1, 13	bitri 277	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208  ∀wal 1546   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-10 2154  ax-12 2191

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-or 855  df-ex 1788  df-nf 1792  df-ral 3056

This theorem is referenced by:  cnvpo  6242