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Theorem ce0addcnnul 6179
Description: The sum of two cardinals raised to 0c is nonempty iff each addend raised to 0c is nonempty. Theorem XI.2.43 of [Rosser] p. 383. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ce0addcnnul NC NC c 0c c 0c c 0c

Proof of Theorem ce0addcnnul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncaddccl 6144 . . . 4 NC NC NC
2 ce0nnul 6177 . . . . 5 NC c 0c 1
3 eladdc 4398 . . . . . 6 1 1
43exbii 1582 . . . . 5 1 1
52, 4syl6bb 252 . . . 4 NC c 0c 1
61, 5syl 15 . . 3 NC NC c 0c 1
7 ncseqnc 6128 . . . . . . . 8 NC Nc
8 ncseqnc 6128 . . . . . . . 8 NC Nc
97, 8bi2anan9 843 . . . . . . 7 NC NC Nc Nc
109biimpar 471 . . . . . 6 NC NC Nc Nc
11 ssun1 3426 . . . . . . . . . . . 12
12 id 19 . . . . . . . . . . . 12 1 1
1311, 12syl5sseqr 3320 . . . . . . . . . . 11 1 1
14 ssun2 3427 . . . . . . . . . . . 12
1514, 12syl5sseqr 3320 . . . . . . . . . . 11 1 1
1613, 15jca 518 . . . . . . . . . 10 1 1 1
17 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
1817sspw1 4335 . . . . . . . . . . . 12 1 1
19 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
2019sspw1 4335 . . . . . . . . . . . 12 1 1
2118, 20anbi12i 678 . . . . . . . . . . 11 1 1 1 1
22 eeanv 1913 . . . . . . . . . . 11 1 1 1 1
2321, 22bitr4i 243 . . . . . . . . . 10 1 1 1 1
2416, 23sylib 188 . . . . . . . . 9 1 1 1
25 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
2625eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1 1 Nc 1
27 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
2928ncid 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1
3026, 29speiv 2000 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Nc 1
31 ncelncs 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1 NC
32 ce0nnul 6177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nc 1 NC Nc 1 c 0c 1 Nc 1
3328, 31, 32mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nc 1 c 0c 1 Nc 1
3430, 33mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14 Nc 1 c 0c
35 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 1
3635eleq1d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1 1 Nc 1
37 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3837pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1
3938ncid 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1
4036, 39speiv 2000 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Nc 1
41 ncelncs 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc 1 NC
42 ce0nnul 6177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Nc 1 NC Nc 1 c 0c 1 Nc 1
4338, 41, 42mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 Nc 1 c 0c 1 Nc 1
4440, 43mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14 Nc 1 c 0c
4534, 44pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13 Nc 1 c 0c Nc 1 c 0c
46 nceq 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc Nc 1
4746oveq1d 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Nc c 0c Nc 1 c 0c
4847neeq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . 14 1 Nc c 0c Nc 1 c 0c
49 nceq 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 Nc Nc 1
5049oveq1d 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Nc c 0c Nc 1 c 0c
5150neeq1d 2529 . . . . . . . . . . . . . 14 1 Nc c 0c Nc 1 c 0c
5248, 51bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13 1 1 Nc c 0c Nc c 0c Nc 1 c 0c Nc 1 c 0c
5345, 52mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12 1 1 Nc c 0c Nc c 0c
5453ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . 11 1 1 Nc c 0c Nc c 0c
5554a1d 22 . . . . . . . . . 10 1 1 Nc c 0c Nc c 0c
5655exlimivv 1635 . . . . . . . . 9 1 1 Nc c 0c Nc c 0c
5724, 56syl 15 . . . . . . . 8 1 Nc c 0c Nc c 0c
5857impcom 419 . . . . . . 7 1 Nc c 0c Nc c 0c
59 oveq1 5530 . . . . . . . . 9 Nc c 0c Nc c 0c
6059neeq1d 2529 . . . . . . . 8 Nc c 0c Nc c 0c
61 oveq1 5530 . . . . . . . . 9 Nc c 0c Nc c 0c
6261neeq1d 2529 . . . . . . . 8 Nc c 0c Nc c 0c
6360, 62bi2anan9 843 . . . . . . 7 Nc Nc c 0c c 0c Nc c 0c Nc c 0c
6458, 63syl5ibr 212 . . . . . 6 Nc Nc 1 c 0c c 0c
6510, 64syl 15 . . . . 5 NC NC 1 c 0c c 0c
6665rexlimdvva 2745 . . . 4 NC NC 1 c 0c c 0c
6766exlimdv 1636 . . 3 NC NC 1 c 0c c 0c
686, 67sylbid 206 . 2 NC NC c 0c c 0c c 0c
69 ce0nnul 6177 . . . . 5 NC c 0c 1
70 ce0nnul 6177 . . . . 5 NC c 0c 1
7169, 70bi2anan9 843 . . . 4 NC NC c 0c c 0c 1 1
72 eeanv 1913 . . . 4 1 1 1 1
7371, 72syl6bbr 254 . . 3 NC NC c 0c c 0c 1 1
74 ncseqnc 6128 . . . . . 6 NC Nc 1 1
75 ncseqnc 6128 . . . . . 6 NC Nc 1 1
7674, 75bi2anan9 843 . . . . 5 NC NC Nc 1 Nc 1 1 1
77 vvex 4109 . . . . . . . . . . . 12
7817, 77xpsnen 6049 . . . . . . . . . . 11
79 enpw1 6062 . . . . . . . . . . 11 1 1
8078, 79mpbi 199 . . . . . . . . . 10 1 1
81 snex 4111 . . . . . . . . . . . . 13
8217, 81xpex 5115 . . . . . . . . . . . 12
8382pw1ex 4303 . . . . . . . . . . 11 1
8483eqnc 6127 . . . . . . . . . 10 Nc 1 Nc 1 1 1
8580, 84mpbir 200 . . . . . . . . 9 Nc 1 Nc 1
86 0ex 4110 . . . . . . . . . . . 12
8719, 86xpsnen 6049 . . . . . . . . . . 11
88 enpw1 6062 . . . . . . . . . . 11 1 1
8987, 88mpbi 199 . . . . . . . . . 10 1 1
90 snex 4111 . . . . . . . . . . . . 13
9119, 90xpex 5115 . . . . . . . . . . . 12
9291pw1ex 4303 . . . . . . . . . . 11 1
9392eqnc 6127 . . . . . . . . . 10 Nc 1 Nc 1 1 1
9489, 93mpbir 200 . . . . . . . . 9 Nc 1 Nc 1
9585, 94addceq12i 4388 . . . . . . . 8 Nc 1 Nc 1 Nc 1 Nc 1
9695oveq1i 5533 . . . . . . 7 Nc 1 Nc 1 c 0c Nc 1 Nc 1 c 0c
97 pw1un 4163 . . . . . . . . . 10 1 1 1
9883ncid 6123 . . . . . . . . . . 11 1 Nc 1
9992ncid 6123 . . . . . . . . . . 11 1 Nc 1
100 vn0 3557 . . . . . . . . . . . . . 14
10177, 100xpnedisj 5513 . . . . . . . . . . . . 13
102 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . . . 13 1 1
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1 1
104 pw1in 4164 . . . . . . . . . . . 12 1 1 1
105 pw10 4161 . . . . . . . . . . . 12 1
106103, 104, 1053eqtr3i 2381 . . . . . . . . . . 11 1 1
107 eladdci 4399 . . . . . . . . . . 11 1 Nc 1 1 Nc 1 1 1 1 1 Nc 1 Nc 1
10898, 99, 106, 107mp3an 1277 . . . . . . . . . 10 1 1 Nc 1 Nc 1
10997, 108eqeltri 2423 . . . . . . . . 9 1 Nc 1 Nc 1
11082, 91unex 4106 . . . . . . . . . 10
111 pw1eq 4143 . . . . . . . . . . 11 1 1
112111eleq1d 2419 . . . . . . . . . 10 1 Nc 1 Nc 1 1 Nc 1 Nc 1
113110, 112spcev 2946 . . . . . . . . 9 1 Nc 1 Nc 1 1 Nc 1 Nc 1
114109, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 Nc 1 Nc 1
11583ncelncsi 6121 . . . . . . . . . 10 Nc 1 NC
11692ncelncsi 6121 . . . . . . . . . 10 Nc 1 NC
117 ncaddccl 6144 . . . . . . . . . 10 Nc 1 NC Nc 1 NC Nc 1 Nc 1 NC
118115, 116, 117mp2an 653 . . . . . . . . 9 Nc 1 Nc 1 NC
119 ce0nnul 6177 . . . . . . . . 9 Nc 1 Nc 1 NC Nc 1 Nc 1 c 0c 1 Nc 1 Nc 1
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . 8 Nc 1 Nc 1 c 0c 1 Nc 1 Nc 1
121114, 120mpbir 200 . . . . . . 7 Nc 1 Nc 1 c 0c
12296, 121eqnetrri 2535 . . . . . 6 Nc 1 Nc 1 c 0c
123 addceq12 4385 . . . . . . . 8 Nc 1 Nc 1 Nc 1 Nc 1
124123oveq1d 5537 . . . . . . 7 Nc 1 Nc 1 c 0c Nc 1 Nc 1 c 0c
125124neeq1d 2529 . . . . . 6 Nc 1 Nc 1 c 0c Nc 1 Nc 1 c 0c
126122, 125mpbiri 224 . . . . 5 Nc 1 Nc 1 c 0c
12776, 126syl6bir 220 . . . 4 NC NC 1 1 c 0c
128127exlimdvv 1637 . . 3 NC NC 1 1 c 0c
12973, 128sylbid 206 . 2 NC NC c 0c c 0c c 0c
13068, 129impbid 183 1 NC NC c 0c c 0c c 0c
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  cvv 2859   cun 3207   cin 3208   wss 3257  c0 3550  csn 3737  1 cpw1 4135  0cc0c 4374   cplc 4375   class class class wbr 4639   cxp 4770  (class class class)co 5525   cen 6028   NC cncs 6088   Nc cnc 6091   ↑c cce 6096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-ce 6106
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