New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  clos1conn Unicode version

Theorem clos1conn 5879
 Description: If a class is connected to an element of a closure via , then it is a member of the closure. Theorem IX.5.14 of [Rosser] p. 246. (Contributed by SF, 13-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clos1base.1 Clos1
Assertion
Ref Expression
clos1conn

Proof of Theorem clos1conn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brex 4689 . . 3
3 eleq1 2413 . . . . 5
4 breq1 4642 . . . . 5
53, 4anbi12d 691 . . . 4
65imbi1d 308 . . 3
7 breq2 4643 . . . . 5
87anbi2d 684 . . . 4
9 eleq1 2413 . . . 4
108, 9imbi12d 311 . . 3
11 breq1 4642 . . . . . . . . . . . . . 14
1211rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . 13
13 elima 4754 . . . . . . . . . . . . 13
1412, 13sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12
1514ancoms 439 . . . . . . . . . . 11
16 ssel 3267 . . . . . . . . . . 11
1715, 16syl5 28 . . . . . . . . . 10
1817exp3a 425 . . . . . . . . 9
1918com12 27 . . . . . . . 8
2019adantld 453 . . . . . . 7
2120a2d 23 . . . . . 6
2221alimdv 1621 . . . . 5
23 clos1base.1 . . . . . . . 8 Clos1
24 df-clos1 5873 . . . . . . . 8 Clos1
2523, 24eqtri 2373 . . . . . . 7
2625eleq2i 2417 . . . . . 6
27 vex 2862 . . . . . . 7
2827elintab 3937 . . . . . 6
2926, 28bitri 240 . . . . 5
3025eleq2i 2417 . . . . . 6
31 vex 2862 . . . . . . 7
3231elintab 3937 . . . . . 6
3330, 32bitri 240 . . . . 5
3422, 29, 333imtr4g 261 . . . 4
3534impcom 419 . . 3
366, 10, 35vtocl2g 2918 . 2
372, 36mpcom 32 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wal 1540   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wrex 2615  cvv 2859   wss 3257  cint 3926   class class class wbr 4639  cima 4722   Clos1 cclos1 5872 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-br 4640  df-ima 4727  df-clos1 5873 This theorem is referenced by:  clos1induct  5880  clos1basesuc  5882  spaccl  6286  dmfrec  6316
 Copyright terms: Public domain W3C validator