New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  clos1induct Unicode version

Theorem clos1induct 5880
 Description: Inductive law for closure. If the base set is a subset of , and is closed under , then the closure is a subset of . Theorem IX.5.15 of [Rosser] p. 247. (Contributed by SF, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clos1induct.1
clos1induct.2
clos1induct.3 Clos1
Assertion
Ref Expression
clos1induct
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem clos1induct
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clos1induct.3 . . . 4 Clos1
2 clos1induct.1 . . . . 5
3 clos1induct.2 . . . . 5
42, 3clos1ex 5876 . . . 4 Clos1
51, 4eqeltri 2423 . . 3
6 inexg 4100 . . 3
75, 6mpan2 652 . 2
81clos1base 5878 . . 3
9 ssin 3477 . . . 4
109biimpi 186 . . 3
118, 10mpan2 652 . 2
12 elima2 4755 . . . . . . 7
13 elin 3219 . . . . . . 7
1412, 13imbi12i 316 . . . . . 6
15 df-ral 2619 . . . . . . . 8
16 impexp 433 . . . . . . . . . 10
171clos1conn 5879 . . . . . . . . . . . . 13
1817biantrud 493 . . . . . . . . . . . 12
1918adantrl 696 . . . . . . . . . . 11
2019pm5.74i 236 . . . . . . . . . 10
2116, 20bitr3i 242 . . . . . . . . 9
2221albii 1566 . . . . . . . 8
2315, 22bitri 240 . . . . . . 7
24 elin 3219 . . . . . . . . . . . 12
25 ancom 437 . . . . . . . . . . . 12
2624, 25bitri 240 . . . . . . . . . . 11
2726anbi1i 676 . . . . . . . . . 10
28 anass 630 . . . . . . . . . 10
2927, 28bitri 240 . . . . . . . . 9
3029imbi1i 315 . . . . . . . 8
3130albii 1566 . . . . . . 7
32 19.23v 1891 . . . . . . 7
3323, 31, 323bitr2i 264 . . . . . 6
3414, 33bitr4i 243 . . . . 5
3534albii 1566 . . . 4
36 dfss2 3262 . . . 4
37 ralcom4 2877 . . . 4
3835, 36, 373bitr4i 268 . . 3
3938biimpri 197 . 2
40 df-clos1 5873 . . . . 5 Clos1
411, 40eqtri 2373 . . . 4
42 sseq2 3293 . . . . . . . . 9
43 imaeq2 4938 . . . . . . . . . 10
44 id 19 . . . . . . . . . 10
4543, 44sseq12d 3300 . . . . . . . . 9
4642, 45anbi12d 691 . . . . . . . 8
4746elabg 2986 . . . . . . 7
4847biimprd 214 . . . . . 6
49483impib 1149 . . . . 5
50 intss1 3941 . . . . 5
5149, 50syl 15 . . . 4
5241, 51syl5eqss 3315 . . 3
53 inss1 3475 . . 3
5452, 53syl6ss 3284 . 2
557, 11, 39, 54syl3an 1224 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  cvv 2859   cin 3208   wss 3257  cint 3926   class class class wbr 4639  cima 4722   Clos1 cclos1 5872 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-2nd 4797  df-txp 5736  df-fix 5740  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-clos1 5873 This theorem is referenced by:  clos1is  5881  clos1nrel  5886  clos10  5887  spacind  6287  frecxp  6314
 Copyright terms: Public domain W3C validator