New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  dfnnc3 Unicode version

Theorem dfnnc3 5885
 Description: The finite cardinals as expressed via the closure operation. Theorem X.1.3 of [Rosser] p. 276. (Contributed by SF, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfnnc3 Nn Clos1 0c 1c

Proof of Theorem dfnnc3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cex 4392 . . . . . 6 0c
21snss 3838 . . . . 5 0c 0c
3 dfss2 3262 . . . . . 6 1c 1c
4 ralcom4 2877 . . . . . . 7 1c 1c
5 eqid 2353 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
65fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
7 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14
8 1cex 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 1c
97, 8addcex 4394 . . . . . . . . . . . . 13 1c
109a1i 10 . . . . . . . . . . . 12 1c
116, 10mprg 2683 . . . . . . . . . . 11 1c
12 ssv 3291 . . . . . . . . . . 11
13 fvelimab 5370 . . . . . . . . . . 11 1c 1c 1c
1411, 12, 13mp2an 653 . . . . . . . . . 10 1c 1c
1514imbi1i 315 . . . . . . . . 9 1c 1c
16 r19.23v 2730 . . . . . . . . 9 1c 1c
1715, 16bitr4i 243 . . . . . . . 8 1c 1c
1817albii 1566 . . . . . . 7 1c 1c
194, 18bitr4i 243 . . . . . 6 1c 1c
20 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13
21 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . . 14 1c 1c
2220, 8addcex 4394 . . . . . . . . . . . . . 14 1c
2321, 5, 22fvmpt 5700 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
2420, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
2524eqeq1i 2360 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
26 eqcom 2355 . . . . . . . . . . 11 1c 1c
2725, 26bitri 240 . . . . . . . . . 10 1c 1c
2827imbi1i 315 . . . . . . . . 9 1c 1c
2928albii 1566 . . . . . . . 8 1c 1c
30 eleq1 2413 . . . . . . . . 9 1c 1c
3122, 30ceqsalv 2885 . . . . . . . 8 1c 1c
3229, 31bitri 240 . . . . . . 7 1c 1c
3332ralbii 2638 . . . . . 6 1c 1c
343, 19, 333bitr2ri 265 . . . . 5 1c 1c
352, 34anbi12i 678 . . . 4 0c 1c 0c 1c
3635abbii 2465 . . 3 0c 1c 0c 1c
3736inteqi 3930 . 2 0c 1c 0c 1c
38 df-nnc 4379 . 2 Nn 0c 1c
39 df-clos1 5873 . 2 Clos1 0c 1c 0c 1c
4037, 38, 393eqtr4i 2383 1 Nn Clos1 0c 1c
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358  wal 1540   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   wss 3257  csn 3737  cint 3926  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   cplc 4375  cima 4722   wfn 4776  cfv 4781   cmpt 5651   Clos1 cclos1 5872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-fun 4789  df-fn 4790  df-fv 4795  df-mpt 5652  df-clos1 5873 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator