NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  enprmaplem5 Unicode version

Theorem enprmaplem5 6080
Description: Lemma for enprmap 6082. Establish that is a subset of the range of . (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
enprmaplem5.1
enprmaplem5.2
enprmaplem5.3
Assertion
Ref Expression
enprmaplem5
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem enprmaplem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2862 . . . 4
21elpw 3728 . . 3
3 ifeqor 3699 . . . . . . . . . . . . . 14
4 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64, 5ifex 3720 . . . . . . . . . . . . . . 15
76elpr 3751 . . . . . . . . . . . . . 14
83, 7mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13
9 id 19 . . . . . . . . . . . . 13
108, 9syl5eleqr 2440 . . . . . . . . . . . 12
1110ralrimivw 2698 . . . . . . . . . . 11
12 enprmaplem5.2 . . . . . . . . . . . 12
1312fmpt 5692 . . . . . . . . . . 11
1411, 13sylib 188 . . . . . . . . . 10
15 prex 4112 . . . . . . . . . . . 12
16 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11
18 enprmaplem5.3 . . . . . . . . . . . 12
1912, 18enprmaplem4 6079 . . . . . . . . . . . 12
20 elmapg 6012 . . . . . . . . . . . 12
2118, 19, 20mp3an23 1269 . . . . . . . . . . 11
2217, 21syl 15 . . . . . . . . . 10
2314, 22mpbird 223 . . . . . . . . 9
24233ad2ant2 977 . . . . . . . 8
25 cnveq 4886 . . . . . . . . . 10
2625imaeq1d 4941 . . . . . . . . 9
27 enprmaplem5.1 . . . . . . . . 9
2819cnvex 5102 . . . . . . . . . 10
29 snex 4111 . . . . . . . . . 10
3028, 29imaex 4747 . . . . . . . . 9
3126, 27, 30fvmpt 5700 . . . . . . . 8
3224, 31syl 15 . . . . . . 7
33 eliniseg 5020 . . . . . . . . 9
34 breldm 4911 . . . . . . . . . . . . 13
3512fnmpt 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15
366a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
3735, 36mprg 2683 . . . . . . . . . . . . . 14
38 fndm 5182 . . . . . . . . . . . . . 14
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
4034, 39syl6eleq 2443 . . . . . . . . . . . 12
41 fnbrfvb 5358 . . . . . . . . . . . . . . 15
4237, 41mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14
4342biimprd 214 . . . . . . . . . . . . 13
4443com12 27 . . . . . . . . . . . 12
4540, 44jcai 522 . . . . . . . . . . 11
46 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746ifbid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
484, 5ifex 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 12, 48fvmpt 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049eqeq1d 2361 . . . . . . . . . . . . . 14
5150biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13
5251imp 418 . . . . . . . . . . . 12
53 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 df-ne 2518 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
56 iffalse 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5756eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059eqcoms 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6255, 61mt3d 117 . . . . . . . . . . . . 13
6362ex 423 . . . . . . . . . . . 12
6452, 63syl5 28 . . . . . . . . . . 11
6545, 64syl5 28 . . . . . . . . . 10
66 ssel2 3268 . . . . . . . . . . . . . . 15
67663ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . 14
6867, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
69 iftrue 3668 . . . . . . . . . . . . . 14
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
7168, 70eqtrd 2385 . . . . . . . . . . . 12
7267, 42syl 15 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
7473ex 423 . . . . . . . . . 10
7565, 74impbid 183 . . . . . . . . 9
7633, 75syl5bb 248 . . . . . . . 8
7776eqrdv 2351 . . . . . . 7
7832, 77eqtrd 2385 . . . . . 6
7927enprmaplem2 6077 . . . . . . . 8
80 fnbrfvb 5358 . . . . . . . 8
8179, 80mpan 651 . . . . . . 7
8224, 81syl 15 . . . . . 6
8378, 82mpbid 201 . . . . 5
84833expia 1153 . . . 4
85 brelrn 4960 . . . 4
8684, 85syl6 29 . . 3
872, 86syl5bi 208 . 2
8887ssrdv 3278 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wral 2614  cvv 2859   wss 3257  cif 3662  cpw 3722  csn 3737  cpr 3738   class class class wbr 4639  cima 4722  ccnv 4771   cdm 4772   crn 4773   wfn 4776  wf 4777  cfv 4781  (class class class)co 5525   cmpt 5651   cmap 5999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-map 6001
This theorem is referenced by:  enprmaplem6  6081
  Copyright terms: Public domain W3C validator