Theorem enprmaplem5 6081

Description: Lemma for enprmap 6083. Establish that ℘B is a subset of the range of W. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
enprmaplem5.1	⊢ W = (r ∈ (A ↑m B) ↦ (◡r “ {x}))
enprmaplem5.2	⊢ R = (u ∈ B ↦ if(u ∈ p, x, y))
enprmaplem5.3	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
enprmaplem5	⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y}) → ℘B ⊆ ran W)

Distinct variable groups:   A,p   A,r   u,A   B,p   B,r   u,B,p   x,p   y,p   R,r   x,r   x,u   y,u   W,p

Allowed substitution hints:   A(x, y)   B(x, y)   R(x, y, u, p)   W(x, y, u, r)

Proof of Theorem enprmaplem5

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2863	. . . 4 ⊢ p ∈ V
2	1	elpw 3729	. . 3 ⊢ (p ∈ ℘B ↔ p ⊆ B)
3		ifeqor 3700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( if(u ∈ p, x, y) = x ∨ if(u ∈ p, x, y) = y)
4		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ x ∈ V
5		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ y ∈ V
6	4, 5	ifex 3721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if(u ∈ p, x, y) ∈ V
7	6	elpr 3752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( if(u ∈ p, x, y) ∈ {x, y} ↔ ( if(u ∈ p, x, y) = x ∨ if(u ∈ p, x, y) = y))
8	3, 7	mpbir 200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(u ∈ p, x, y) ∈ {x, y}
9		id 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A = {x, y} → A = {x, y})
10	8, 9	syl5eleqr 2440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A = {x, y} → if(u ∈ p, x, y) ∈ A)
11	10	ralrimivw 2699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A = {x, y} → ∀u ∈ B if(u ∈ p, x, y) ∈ A)
12		enprmaplem5.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R = (u ∈ B ↦ if(u ∈ p, x, y))
13	12	fmpt 5693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀u ∈ B if(u ∈ p, x, y) ∈ A ↔ R:B–→A)
14	11, 13	sylib 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = {x, y} → R:B–→A)
15		prex 4113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {x, y} ∈ V
16		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A = {x, y} → (A ∈ V ↔ {x, y} ∈ V))
17	15, 16	mpbiri 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A = {x, y} → A ∈ V)
18		enprmaplem5.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ∈ V
19	12, 18	enprmaplem4 6080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R ∈ V
20		elmapg 6013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V ∧ R ∈ V) → (R ∈ (A ↑m B) ↔ R:B–→A))
21	18, 19, 20	mp3an23 1269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ V → (R ∈ (A ↑m B) ↔ R:B–→A))
22	17, 21	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = {x, y} → (R ∈ (A ↑m B) ↔ R:B–→A))
23	14, 22	mpbird 223	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = {x, y} → R ∈ (A ↑m B))
24	23	3ad2ant2 977	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → R ∈ (A ↑m B))
25		cnveq 4887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (r = R → ◡r = ◡R)
26	25	imaeq1d 4942	. . . . . . . . 9 ⊢ (r = R → (◡r “ {x}) = (◡R “ {x}))
27		enprmaplem5.1	. . . . . . . . 9 ⊢ W = (r ∈ (A ↑m B) ↦ (◡r “ {x}))
28	19	cnvex 5103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡R ∈ V
29		snex 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ {x} ∈ V
30	28, 29	imaex 4748	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡R “ {x}) ∈ V
31	26, 27, 30	fvmpt 5701	. . . . . . . 8 ⊢ (R ∈ (A ↑m B) → (W ‘R) = (◡R “ {x}))
32	24, 31	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (W ‘R) = (◡R “ {x}))
33		eliniseg 5021	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ (◡R “ {x}) ↔ zRx)
34		breldm 4912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (zRx → z ∈ dom R)
35	12	fnmpt 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀u ∈ B if(u ∈ p, x, y) ∈ V → R Fn B)
36	6	a1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u ∈ B → if(u ∈ p, x, y) ∈ V)
37	35, 36	mprg 2684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ R Fn B
38		fndm 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (R Fn B → dom R = B)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom R = B
40	34, 39	syl6eleq 2443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (zRx → z ∈ B)
41		fnbrfvb 5359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((R Fn B ∧ z ∈ B) → ((R ‘z) = x ↔ zRx))
42	37, 41	mpan 651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ B → ((R ‘z) = x ↔ zRx))
43	42	biimprd 214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ B → (zRx → (R ‘z) = x))
44	43	com12 27	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (zRx → (z ∈ B → (R ‘z) = x))
45	40, 44	jcai 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (zRx → (z ∈ B ∧ (R ‘z) = x))
46		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (u = z → (u ∈ p ↔ z ∈ p))
47	46	ifbid 3681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u = z → if(u ∈ p, x, y) = if(z ∈ p, x, y))
48	4, 5	ifex 3721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ if(z ∈ p, x, y) ∈ V
49	47, 12, 48	fvmpt 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ B → (R ‘z) = if(z ∈ p, x, y))
50	49	eqeq1d 2361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ B → ((R ‘z) = x ↔ if(z ∈ p, x, y) = x))
51	50	biimpd 198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ B → ((R ‘z) = x → if(z ∈ p, x, y) = x))
52	51	imp 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ B ∧ (R ‘z) = x) → if(z ∈ p, x, y) = x)
53		simpl1 958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ if(z ∈ p, x, y) = x) → x ≠ y)
54		df-ne 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ≠ y ↔ ¬ x = y)
55	53, 54	sylib 188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ if(z ∈ p, x, y) = x) → ¬ x = y)
56		iffalse 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ z ∈ p → if(z ∈ p, x, y) = y)
57	56	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ z ∈ p → (x = if(z ∈ p, x, y) ↔ x = y))
58	57	biimpd 198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ z ∈ p → (x = if(z ∈ p, x, y) → x = y))
59	58	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x = if(z ∈ p, x, y) → (¬ z ∈ p → x = y))
60	59	eqcoms 2356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( if(z ∈ p, x, y) = x → (¬ z ∈ p → x = y))
61	60	adantl 452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ if(z ∈ p, x, y) = x) → (¬ z ∈ p → x = y))
62	55, 61	mt3d 117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ if(z ∈ p, x, y) = x) → z ∈ p)
63	62	ex 423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → ( if(z ∈ p, x, y) = x → z ∈ p))
64	52, 63	syl5 28	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → ((z ∈ B ∧ (R ‘z) = x) → z ∈ p))
65	45, 64	syl5 28	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (zRx → z ∈ p))
66		ssel2 3269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((p ⊆ B ∧ z ∈ p) → z ∈ B)
67	66	3ad2antl3 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → z ∈ B)
68	67, 49	syl 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → (R ‘z) = if(z ∈ p, x, y))
69		iftrue 3669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ p → if(z ∈ p, x, y) = x)
70	69	adantl 452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → if(z ∈ p, x, y) = x)
71	68, 70	eqtrd 2385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → (R ‘z) = x)
72	67, 42	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → ((R ‘z) = x ↔ zRx))
73	71, 72	mpbid 201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) ∧ z ∈ p) → zRx)
74	73	ex 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (z ∈ p → zRx))
75	65, 74	impbid 183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (zRx ↔ z ∈ p))
76	33, 75	syl5bb 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (z ∈ (◡R “ {x}) ↔ z ∈ p))
77	76	eqrdv 2351	. . . . . . 7 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (◡R “ {x}) = p)
78	32, 77	eqtrd 2385	. . . . . 6 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → (W ‘R) = p)
79	27	enprmaplem2 6078	. . . . . . . 8 ⊢ W Fn (A ↑m B)
80		fnbrfvb 5359	. . . . . . . 8 ⊢ ((W Fn (A ↑m B) ∧ R ∈ (A ↑m B)) → ((W ‘R) = p ↔ RWp))
81	79, 80	mpan 651	. . . . . . 7 ⊢ (R ∈ (A ↑m B) → ((W ‘R) = p ↔ RWp))
82	24, 81	syl 15	. . . . . 6 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → ((W ‘R) = p ↔ RWp))
83	78, 82	mpbid 201	. . . . 5 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y} ∧ p ⊆ B) → RWp)
84	83	3expia 1153	. . . 4 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y}) → (p ⊆ B → RWp))
85		brelrn 4961	. . . 4 ⊢ (RWp → p ∈ ran W)
86	84, 85	syl6 29	. . 3 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y}) → (p ⊆ B → p ∈ ran W))
87	2, 86	syl5bi 208	. 2 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y}) → (p ∈ ℘B → p ∈ ran W))
88	87	ssrdv 3279	1 ⊢ ((x ≠ y ∧ A = {x, y}) → ℘B ⊆ ran W)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∀wral 2615  Vcvv 2860   ⊆ wss 3258   ifcif 3663  ℘cpw 3723  {csn 3738  {cpr 3739   class class class wbr 4640   “ cima 4723  ^◡ccnv 4772  dom cdm 4773  ran crn 4774   Fn wfn 4777  –→wf 4778   ‘cfv 4782  (class class class)co 5526   ↦ cmpt 5652   ↑_m cmap 6000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-map 6002

This theorem is used by:  enprmaplem6  6082