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Theorem eventfin 4517
 Description: If is even , then so is Tfin . Theorem X.1.37 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eventfin Evenfin Tfin Evenfin

Proof of Theorem eventfin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2359 . . . . . 6
21rexbidv 2635 . . . . 5 Nn Nn
3 neeq1 2524 . . . . 5
42, 3anbi12d 691 . . . 4 Nn Nn
5 df-evenfin 4444 . . . 4 Evenfin Nn
64, 5elab2g 2987 . . 3 Evenfin Evenfin Nn
76ibi 232 . 2 Evenfin Nn
8 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . 12
9 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . 12
108, 9syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11
1110necon3i 2555 . . . . . . . . . 10
12 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . 11 Nn Tfin Nn 1 Tfin
1312simpld 445 . . . . . . . . . 10 Nn Tfin Nn
1411, 13sylan2 460 . . . . . . . . 9 Nn Tfin Nn
15 tfindi 4496 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
16153anidm12 1239 . . . . . . . . 9 Nn Tfin Tfin Tfin
17 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Tfin Tfin Tfin
1817anidms 626 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin Tfin
1918eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin
2019rspcev 2955 . . . . . . . . 9 Tfin Nn Tfin Tfin Tfin Nn Tfin
2114, 16, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8 Nn Nn Tfin
22 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 Nn Nn Nn
2322anidms 626 . . . . . . . . 9 Nn Nn
24 tfinnnul 4490 . . . . . . . . 9 Nn Tfin
2523, 24sylan 457 . . . . . . . 8 Nn Tfin
2621, 25jca 518 . . . . . . 7 Nn Nn Tfin Tfin
27 tfinex 4485 . . . . . . . 8 Tfin
28 eqeq1 2359 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin
2928rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 Tfin Nn Nn Tfin
30 neeq1 2524 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
3129, 30anbi12d 691 . . . . . . . 8 Tfin Nn Nn Tfin Tfin
32 df-evenfin 4444 . . . . . . . 8 Evenfin Nn
3327, 31, 32elab2 2988 . . . . . . 7 Tfin Evenfin Nn Tfin Tfin
3426, 33sylibr 203 . . . . . 6 Nn Tfin Evenfin
3534ex 423 . . . . 5 Nn Tfin Evenfin
36 neeq1 2524 . . . . . . . 8
37 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 Tfin Tfin
3837eleq1d 2419 . . . . . . . 8 Tfin Evenfin Tfin Evenfin
3936, 38imbi12d 311 . . . . . . 7 Tfin Evenfin Tfin Evenfin
4039biimprd 214 . . . . . 6 Tfin Evenfin Tfin Evenfin
4140com12 27 . . . . 5 Tfin Evenfin Tfin Evenfin
4235, 41syl 15 . . . 4 Nn Tfin Evenfin
4342rexlimiv 2732 . . 3 Nn Tfin Evenfin
4443imp 418 . 2 Nn Tfin Evenfin
457, 44syl 15 1 Evenfin Tfin Evenfin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  c0 3550  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Tfin ctfin 4435   Evenfin cevenfin 4436 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443  df-evenfin 4444 This theorem is referenced by:  vinf  4555
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