Theorem oddtfin 4519

Description: If M is odd , then so is T_fin M. Theorem X.1.38 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oddtfin	|- (M e. Oddfin -> Tfin M e. Oddfin )

Proof of Theorem oddtfin

Dummy variables n m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2359	. . . . . 6 |- (x = M -> (x = ((n +o n) +o 1c) <-> M = ((n +o n) +o 1c)))
2	1	rexbidv 2636	. . . . 5 |- (x = M -> (E.n e. Nn x = ((n +o n) +o 1c) <-> E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c)))
3		neeq1 2525	. . . . 5 |- (x = M -> (x =/= (/) <-> M =/= (/)))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . 4 |- (x = M -> ((E.n e. Nn x = ((n +o n) +o 1c) /\ x =/= (/)) <-> (E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c) /\ M =/= (/))))
5		df-oddfin 4446	. . . 4 |- Oddfin = {x | (E.n e. Nn x = ((n +o n) +o 1c) /\ x =/= (/))}
6	4, 5	elab2g 2988	. . 3 |- (M e. Oddfin -> (M e. Oddfin <-> (E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c) /\ M =/= (/))))
7	6	ibi 232	. 2 |- (M e. Oddfin -> (E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c) /\ M =/= (/)))
8		addceq2 4385	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n = (/) -> (n +o n) = (n +o (/)))
9		addcnul1 4453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (n +o (/)) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . 13 |- (n = (/) -> (n +o n) = (/))
11		addceq1 4384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n +o n) = (/) -> ((n +o n) +o 1c) = ((/) +o 1c))
12	10, 11	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 |- (n = (/) -> ((n +o n) +o 1c) = ((/) +o 1c))
13		addccom 4407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((/) +o 1c) = (1c +o (/))
14		addcnul1 4453	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1c +o (/)) = (/)
15	13, 14	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . 12 |- ((/) +o 1c) = (/)
16	12, 15	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . 11 |- (n = (/) -> ((n +o n) +o 1c) = (/))
17	16	necon3i 2556	. . . . . . . . . 10 |- (((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> n =/= (/))
18		tfinprop 4490	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. Nn /\ n =/= (/)) -> ( Tfin n e. Nn /\ E.x e. n ~P1 x e. Tfin n))
19	18	simpld 445	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. Nn /\ n =/= (/)) -> Tfin n e. Nn )
20	17, 19	sylan2 460	. . . . . . . . 9 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin n e. Nn )
21		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. Nn /\ n e. Nn ) -> (n +o n) e. Nn )
22	21	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 |- (n e. Nn -> (n +o n) e. Nn )
23		1cnnc 4409	. . . . . . . . . . . 12 |- 1c e. Nn
24		tfindi 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o n) e. Nn /\ 1c e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) = ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c))
25	23, 24	mp3an2 1265	. . . . . . . . . . 11 |- (((n +o n) e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) = ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c))
26	22, 25	sylan 457	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) = ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c))
27		addcnnul 4454	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> ((n +o n) =/= (/) /\ 1c =/= (/)))
28	27	simpld 445	. . . . . . . . . . . 12 |- (((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> (n +o n) =/= (/))
29		tfindi 4497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((n e. Nn /\ n e. Nn /\ (n +o n) =/= (/)) -> Tfin (n +o n) = ( Tfin n +o Tfin n))
30	29	3anidm12 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ((n e. Nn /\ (n +o n) =/= (/)) -> Tfin (n +o n) = ( Tfin n +o Tfin n))
31	28, 30	sylan2 460	. . . . . . . . . . 11 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin (n +o n) = ( Tfin n +o Tfin n))
32		tfin1c 4500	. . . . . . . . . . . 12 |- Tfin 1c = 1c
33		addceq12 4386	. . . . . . . . . . . 12 |- (( Tfin (n +o n) = ( Tfin n +o Tfin n) /\ Tfin 1c = 1c) -> ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
34	32, 33	mpan2 652	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tfin (n +o n) = ( Tfin n +o Tfin n) -> ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
35	31, 34	syl 15	. . . . . . . . . 10 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> ( Tfin (n +o n) +o Tfin 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
36	26, 35	eqtrd 2385	. . . . . . . . 9 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
37		addceq12 4386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((m = Tfin n /\ m = Tfin n) -> (m +o m) = ( Tfin n +o Tfin n))
38	37	anidms 626	. . . . . . . . . . . 12 |- (m = Tfin n -> (m +o m) = ( Tfin n +o Tfin n))
39		addceq1 4384	. . . . . . . . . . . 12 |- ((m +o m) = ( Tfin n +o Tfin n) -> ((m +o m) +o 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
40	38, 39	syl 15	. . . . . . . . . . 11 |- (m = Tfin n -> ((m +o m) +o 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c))
41	40	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 |- (m = Tfin n -> ( Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c) <-> Tfin ((n +o n) +o 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c)))
42	41	rspcev 2956	. . . . . . . . 9 |- (( Tfin n e. Nn /\ Tfin ((n +o n) +o 1c) = (( Tfin n +o Tfin n) +o 1c)) -> E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c))
43	20, 36, 42	syl2anc 642	. . . . . . . 8 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c))
44		peano2 4404	. . . . . . . . . 10 |- ((n +o n) e. Nn -> ((n +o n) +o 1c) e. Nn )
45	22, 44	syl 15	. . . . . . . . 9 |- (n e. Nn -> ((n +o n) +o 1c) e. Nn )
46		tfinnnul 4491	. . . . . . . . 9 |- ((((n +o n) +o 1c) e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/))
47	45, 46	sylan 457	. . . . . . . 8 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/))
48	43, 47	jca 518	. . . . . . 7 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> (E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c) /\ Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/)))
49		tfinex 4486	. . . . . . . 8 |- Tfin ((n +o n) +o 1c) e. _V
50		eqeq1 2359	. . . . . . . . . 10 |- (x = Tfin ((n +o n) +o 1c) -> (x = ((m +o m) +o 1c) <-> Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c)))
51	50	rexbidv 2636	. . . . . . . . 9 |- (x = Tfin ((n +o n) +o 1c) -> (E.m e. Nn x = ((m +o m) +o 1c) <-> E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c)))
52		neeq1 2525	. . . . . . . . 9 |- (x = Tfin ((n +o n) +o 1c) -> (x =/= (/) <-> Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/)))
53	51, 52	anbi12d 691	. . . . . . . 8 |- (x = Tfin ((n +o n) +o 1c) -> ((E.m e. Nn x = ((m +o m) +o 1c) /\ x =/= (/)) <-> (E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c) /\ Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/))))
54		df-oddfin 4446	. . . . . . . 8 |- Oddfin = {x | (E.m e. Nn x = ((m +o m) +o 1c) /\ x =/= (/))}
55	49, 53, 54	elab2 2989	. . . . . . 7 |- ( Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin <-> (E.m e. Nn Tfin ((n +o n) +o 1c) = ((m +o m) +o 1c) /\ Tfin ((n +o n) +o 1c) =/= (/)))
56	48, 55	sylibr 203	. . . . . 6 |- ((n e. Nn /\ ((n +o n) +o 1c) =/= (/)) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin )
57	56	ex 423	. . . . 5 |- (n e. Nn -> (((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin ))
58		neeq1 2525	. . . . . . . 8 |- (M = ((n +o n) +o 1c) -> (M =/= (/) <-> ((n +o n) +o 1c) =/= (/)))
59		tfineq 4489	. . . . . . . . 9 |- (M = ((n +o n) +o 1c) -> Tfin M = Tfin ((n +o n) +o 1c))
60	59	eleq1d 2419	. . . . . . . 8 |- (M = ((n +o n) +o 1c) -> ( Tfin M e. Oddfin <-> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin ))
61	58, 60	imbi12d 311	. . . . . . 7 |- (M = ((n +o n) +o 1c) -> ((M =/= (/) -> Tfin M e. Oddfin ) <-> (((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin )))
62	61	biimprd 214	. . . . . 6 |- (M = ((n +o n) +o 1c) -> ((((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin ) -> (M =/= (/) -> Tfin M e. Oddfin )))
63	62	com12 27	. . . . 5 |- ((((n +o n) +o 1c) =/= (/) -> Tfin ((n +o n) +o 1c) e. Oddfin ) -> (M = ((n +o n) +o 1c) -> (M =/= (/) -> Tfin M e. Oddfin )))
64	57, 63	syl 15	. . . 4 |- (n e. Nn -> (M = ((n +o n) +o 1c) -> (M =/= (/) -> Tfin M e. Oddfin )))
65	64	rexlimiv 2733	. . 3 |- (E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c) -> (M =/= (/) -> Tfin M e. Oddfin ))
66	65	imp 418	. 2 |- ((E.n e. Nn M = ((n +o n) +o 1c) /\ M =/= (/)) -> Tfin M e. Oddfin )
67	7, 66	syl 15	1 |- (M e. Oddfin -> Tfin M e. Oddfin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  E.wrex 2616  (/)c0 3551  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   Nn cnnc 4374   +o cplc 4376   T_fin ctfin 4436   Odd_fin coddfin 4438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-tfin 4444  df-oddfin 4446

This theorem is referenced by:  vinf  4556