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Theorem oddtfin 4518
 Description: If is odd , then so is Tfin . Theorem X.1.38 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddtfin Oddfin Tfin Oddfin

Proof of Theorem oddtfin
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2359 . . . . . 6 1c 1c
21rexbidv 2635 . . . . 5 Nn 1c Nn 1c
3 neeq1 2524 . . . . 5
42, 3anbi12d 691 . . . 4 Nn 1c Nn 1c
5 df-oddfin 4445 . . . 4 Oddfin Nn 1c
64, 5elab2g 2987 . . 3 Oddfin Oddfin Nn 1c
76ibi 232 . 2 Oddfin Nn 1c
8 addceq2 4384 . . . . . . . . . . . . . 14
9 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . . 14
108, 9syl6eq 2401 . . . . . . . . . . . . 13
11 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . 12 1c 1c
13 addccom 4406 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
14 addcnul1 4452 . . . . . . . . . . . . 13 1c
1513, 14eqtri 2373 . . . . . . . . . . . 12 1c
1612, 15syl6eq 2401 . . . . . . . . . . 11 1c
1716necon3i 2555 . . . . . . . . . 10 1c
18 tfinprop 4489 . . . . . . . . . . 11 Nn Tfin Nn 1 Tfin
1918simpld 445 . . . . . . . . . 10 Nn Tfin Nn
2017, 19sylan2 460 . . . . . . . . 9 Nn 1c Tfin Nn
21 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . 12 Nn Nn Nn
2221anidms 626 . . . . . . . . . . 11 Nn Nn
23 1cnnc 4408 . . . . . . . . . . . 12 1c Nn
24 tfindi 4496 . . . . . . . . . . . 12 Nn 1c Nn 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
2523, 24mp3an2 1265 . . . . . . . . . . 11 Nn 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
2622, 25sylan 457 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
27 addcnnul 4453 . . . . . . . . . . . . 13 1c 1c
2827simpld 445 . . . . . . . . . . . 12 1c
29 tfindi 4496 . . . . . . . . . . . . 13 Nn Nn Tfin Tfin Tfin
30293anidm12 1239 . . . . . . . . . . . 12 Nn Tfin Tfin Tfin
3128, 30sylan2 460 . . . . . . . . . . 11 Nn 1c Tfin Tfin Tfin
32 tfin1c 4499 . . . . . . . . . . . 12 Tfin 1c 1c
33 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Tfin Tfin Tfin 1c 1c Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
3432, 33mpan2 652 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin Tfin Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
3531, 34syl 15 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
3626, 35eqtrd 2385 . . . . . . . . 9 Nn 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
37 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Tfin Tfin Tfin
3837anidms 626 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Tfin Tfin
39 addceq1 4383 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Tfin 1c Tfin Tfin 1c
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11 Tfin 1c Tfin Tfin 1c
4140eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin 1c 1c Tfin 1c Tfin Tfin 1c
4241rspcev 2955 . . . . . . . . 9 Tfin Nn Tfin 1c Tfin Tfin 1c Nn Tfin 1c 1c
4320, 36, 42syl2anc 642 . . . . . . . 8 Nn 1c Nn Tfin 1c 1c
44 peano2 4403 . . . . . . . . . 10 Nn 1c Nn
4522, 44syl 15 . . . . . . . . 9 Nn 1c Nn
46 tfinnnul 4490 . . . . . . . . 9 1c Nn 1c Tfin 1c
4745, 46sylan 457 . . . . . . . 8 Nn 1c Tfin 1c
4843, 47jca 518 . . . . . . 7 Nn 1c Nn Tfin 1c 1c Tfin 1c
49 tfinex 4485 . . . . . . . 8 Tfin 1c
50 eqeq1 2359 . . . . . . . . . 10 Tfin 1c 1c Tfin 1c 1c
5150rexbidv 2635 . . . . . . . . 9 Tfin 1c Nn 1c Nn Tfin 1c 1c
52 neeq1 2524 . . . . . . . . 9 Tfin 1c Tfin 1c
5351, 52anbi12d 691 . . . . . . . 8 Tfin 1c Nn 1c Nn Tfin 1c 1c Tfin 1c
54 df-oddfin 4445 . . . . . . . 8 Oddfin Nn 1c
5549, 53, 54elab2 2988 . . . . . . 7 Tfin 1c Oddfin Nn Tfin 1c 1c Tfin 1c
5648, 55sylibr 203 . . . . . 6 Nn 1c Tfin 1c Oddfin
5756ex 423 . . . . 5 Nn 1c Tfin 1c Oddfin
58 neeq1 2524 . . . . . . . 8 1c 1c
59 tfineq 4488 . . . . . . . . 9 1c Tfin Tfin 1c
6059eleq1d 2419 . . . . . . . 8 1c Tfin Oddfin Tfin 1c Oddfin
6158, 60imbi12d 311 . . . . . . 7 1c Tfin Oddfin 1c Tfin 1c Oddfin
6261biimprd 214 . . . . . 6 1c 1c Tfin 1c Oddfin Tfin Oddfin
6362com12 27 . . . . 5 1c Tfin 1c Oddfin 1c Tfin Oddfin
6457, 63syl 15 . . . 4 Nn 1c Tfin Oddfin
6564rexlimiv 2732 . . 3 Nn 1c Tfin Oddfin
6665imp 418 . 2 Nn 1c Tfin Oddfin
677, 66syl 15 1 Oddfin Tfin Oddfin
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  wrex 2615  c0 3550  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Tfin ctfin 4435   Oddfin coddfin 4437 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443  df-oddfin 4445 This theorem is referenced by:  vinf  4555
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