Theorem fvfullfun 5865

Description: The value of the full function definition agrees with the function value everywhere. (Contributed by SF, 9-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fvfullfun	|- ( FullFun F` A) = (F` A)

Proof of Theorem fvfullfun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5329	. . . 4 |- (x = A -> ( FullFun F` x) = ( FullFun F` A))
2		fveq2 5329	. . . 4 |- (x = A -> (F` x) = (F` A))
3	1, 2	eqeq12d 2367	. . 3 |- (x = A -> (( FullFun F` x) = (F` x) <-> ( FullFun F` A) = (F` A)))
4		df-fullfun 5769	. . . . 5 |- FullFun F = ((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))
5	4	fveq1i 5330	. . . 4 |- ( FullFun F` x) = (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x)
6		incompl 4074	. . . . . . 7 |- (dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) i^i ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) = (/)
7		fnfullfunlem2 5858	. . . . . . . . 9 |- Fun (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))
8		funfn 5137	. . . . . . . . 9 |- (Fun (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) <-> (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) Fn dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)))
9	7, 8	mpbi 199	. . . . . . . 8 |- (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) Fn dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))
10		0ex 4111	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
11		fnconstg 5253	. . . . . . . . 9 |- ((/) e. _V -> ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}) Fn ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}) Fn ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))
13		fvun1 5380	. . . . . . . 8 |- (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) Fn dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) /\ ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}) Fn ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) /\ ((dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) i^i ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) = (/) /\ x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)))) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = ((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))` x))
14	9, 12, 13	mp3an12 1267	. . . . . . 7 |- (((dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) i^i ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) = (/) /\ x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = ((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))` x))
15	6, 14	mpan 651	. . . . . 6 |- (x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = ((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))` x))
16		fvfullfunlem3 5864	. . . . . 6 |- (x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> ((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))` x) = (F` x))
17	15, 16	eqtrd 2385	. . . . 5 |- (x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (F` x))
18		vex 2863	. . . . . . . 8 |- x e. _V
19	18	elcompl 3226	. . . . . . 7 |- (x e. ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) <-> -. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)))
20		fvun2 5381	. . . . . . . . 9 |- (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) Fn dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) /\ ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}) Fn ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) /\ ((dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) i^i ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) = (/) /\ x e. ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)))) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x))
21	9, 12, 20	mp3an12 1267	. . . . . . . 8 |- (((dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) i^i ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) = (/) /\ x e. ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F))) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x))
22	6, 21	mpan 651	. . . . . . 7 |- (x e. ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x))
23	19, 22	sylbir 204	. . . . . 6 |- (-. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x))
24		fvfullfunlem1 5862	. . . . . . . . 9 |- dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) = {x | E!y xFy}
25	24	abeq2i 2461	. . . . . . . 8 |- (x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) <-> E!y xFy)
26		tz6.12-2 5347	. . . . . . . 8 |- (-. E!y xFy -> (F` x) = (/))
27	25, 26	sylnbi 297	. . . . . . 7 |- (-. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (F` x) = (/))
28	10	fvconst2 5454	. . . . . . . 8 |- (x e. ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x) = (/))
29	19, 28	sylbir 204	. . . . . . 7 |- (-. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x) = (/))
30	27, 29	eqtr4d 2388	. . . . . 6 |- (-. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (F` x) = (( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)})` x))
31	23, 30	eqtr4d 2388	. . . . 5 |- (-. x e. dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) -> (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (F` x))
32	17, 31	pm2.61i 156	. . . 4 |- (((( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) u. ( ∼ dom (( _I o. F) \ ( ∼ _I o. F)) X. {(/)}))` x) = (F` x)
33	5, 32	eqtri 2373	. . 3 |- ( FullFun F` x) = (F` x)
34	3, 33	vtoclg 2915	. 2 |- (A e. _V -> ( FullFun F` A) = (F` A))
35		fvprc 5326	. . 3 |- (-. A e. _V -> ( FullFun F` A) = (/))
36		fvprc 5326	. . 3 |- (-. A e. _V -> (F` A) = (/))
37	35, 36	eqtr4d 2388	. 2 |- (-. A e. _V -> ( FullFun F` A) = (F` A))
38	34, 37	pm2.61i 156	1 |- ( FullFun F` A) = (F` A)

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 358   = wceq 1642   e. wcel 1710  E!weu 2204  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209  (/)c0 3551  {csn 3738   class class class wbr 4640   o. ccom 4722   _I cid 4764   X. cxp 4771  dom cdm 4773  Fun wfun 4776   Fn wfn 4777  ` cfv 4782   FullFun cfullfun 5768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-fv 4796  df-fullfun 5769

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