Theorem oddtfin 4518

Description: If M is odd , then so is T_fin M. Theorem X.1.38 of [Rosser] p. 530. (Contributed by SF, 26-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
oddtfin	⊢ (M ∈ Oddfin → Tfin M ∈ Oddfin )

Proof of Theorem oddtfin

Dummy variables n m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2359	. . . . . 6 ⊢ (x = M → (x = ((n +c n) +c 1c) ↔ M = ((n +c n) +c 1c)))
2	1	rexbidv 2635	. . . . 5 ⊢ (x = M → (∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ↔ ∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c)))
3		neeq1 2524	. . . . 5 ⊢ (x = M → (x ≠ ∅ ↔ M ≠ ∅))
4	2, 3	anbi12d 691	. . . 4 ⊢ (x = M → ((∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c) ∧ M ≠ ∅)))
5		df-oddfin 4445	. . . 4 ⊢ Oddfin = {x ∣ (∃n ∈ Nn x = ((n +c n) +c 1c) ∧ x ≠ ∅)}
6	4, 5	elab2g 2987	. . 3 ⊢ (M ∈ Oddfin → (M ∈ Oddfin ↔ (∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c) ∧ M ≠ ∅)))
7	6	ibi 232	. 2 ⊢ (M ∈ Oddfin → (∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c) ∧ M ≠ ∅))
8		addceq2 4384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (n = ∅ → (n +c n) = (n +c ∅))
9		addcnul1 4452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (n +c ∅) = ∅
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (n = ∅ → (n +c n) = ∅)
11		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c n) = ∅ → ((n +c n) +c 1c) = (∅ +c 1c))
12	10, 11	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n = ∅ → ((n +c n) +c 1c) = (∅ +c 1c))
13		addccom 4406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ +c 1c) = (1c +c ∅)
14		addcnul1 4452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1c +c ∅) = ∅
15	13, 14	eqtri 2373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ +c 1c) = ∅
16	12, 15	syl6eq 2401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n = ∅ → ((n +c n) +c 1c) = ∅)
17	16	necon3i 2555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → n ≠ ∅)
18		tfinprop 4489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅) → ( Tfin n ∈ Nn ∧ ∃x ∈ n ℘1x ∈ Tfin n))
19	18	simpld 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ≠ ∅) → Tfin n ∈ Nn )
20	17, 19	sylan2 460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin n ∈ Nn )
21		nncaddccl 4419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → (n +c n) ∈ Nn )
22	21	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ Nn )
23		1cnnc 4408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1c ∈ Nn
24		tfindi 4496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) ∈ Nn ∧ 1c ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
25	23, 24	mp3an2 1265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n +c n) ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
26	22, 25	sylan 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c))
27		addcnnul 4453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → ((n +c n) ≠ ∅ ∧ 1c ≠ ∅))
28	27	simpld 445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → (n +c n) ≠ ∅)
29		tfindi 4496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
30	29	3anidm12 1239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ (n +c n) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
31	28, 30	sylan2 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n))
32		tfin1c 4499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Tfin 1c = 1c
33		addceq12 4385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n) ∧ Tfin 1c = 1c) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
34	32, 33	mpan2 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Tfin (n +c n) = ( Tfin n +c Tfin n) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
35	31, 34	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → ( Tfin (n +c n) +c Tfin 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
36	26, 35	eqtrd 2385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
37		addceq12 4385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((m = Tfin n ∧ m = Tfin n) → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
38	37	anidms 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (m = Tfin n → (m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n))
39		addceq1 4383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((m +c m) = ( Tfin n +c Tfin n) → ((m +c m) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
40	38, 39	syl 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (m = Tfin n → ((m +c m) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c))
41	40	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (m = Tfin n → ( Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c)))
42	41	rspcev 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ (( Tfin n ∈ Nn ∧ Tfin ((n +c n) +c 1c) = (( Tfin n +c Tfin n) +c 1c)) → ∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
43	20, 36, 42	syl2anc 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → ∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c))
44		peano2 4403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((n +c n) ∈ Nn → ((n +c n) +c 1c) ∈ Nn )
45	22, 44	syl 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) +c 1c) ∈ Nn )
46		tfinnnul 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((n +c n) +c 1c) ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅)
47	45, 46	sylan 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅)
48	43, 47	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → (∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅))
49		tfinex 4485	. . . . . . . 8 ⊢ Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ V
50		eqeq1 2359	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (x = ((m +c m) +c 1c) ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
51	50	rexbidv 2635	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ↔ ∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c)))
52		neeq1 2524	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → (x ≠ ∅ ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅))
53	51, 52	anbi12d 691	. . . . . . . 8 ⊢ (x = Tfin ((n +c n) +c 1c) → ((∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅)))
54		df-oddfin 4445	. . . . . . . 8 ⊢ Oddfin = {x ∣ (∃m ∈ Nn x = ((m +c m) +c 1c) ∧ x ≠ ∅)}
55	49, 53, 54	elab2 2988	. . . . . . 7 ⊢ ( Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin ↔ (∃m ∈ Nn Tfin ((n +c n) +c 1c) = ((m +c m) +c 1c) ∧ Tfin ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅))
56	48, 55	sylibr 203	. . . . . 6 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅) → Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin )
57	56	ex 423	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin ))
58		neeq1 2524	. . . . . . . 8 ⊢ (M = ((n +c n) +c 1c) → (M ≠ ∅ ↔ ((n +c n) +c 1c) ≠ ∅))
59		tfineq 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (M = ((n +c n) +c 1c) → Tfin M = Tfin ((n +c n) +c 1c))
60	59	eleq1d 2419	. . . . . . . 8 ⊢ (M = ((n +c n) +c 1c) → ( Tfin M ∈ Oddfin ↔ Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin ))
61	58, 60	imbi12d 311	. . . . . . 7 ⊢ (M = ((n +c n) +c 1c) → ((M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Oddfin ) ↔ (((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin )))
62	61	biimprd 214	. . . . . 6 ⊢ (M = ((n +c n) +c 1c) → ((((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin ) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Oddfin )))
63	62	com12 27	. . . . 5 ⊢ ((((n +c n) +c 1c) ≠ ∅ → Tfin ((n +c n) +c 1c) ∈ Oddfin ) → (M = ((n +c n) +c 1c) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Oddfin )))
64	57, 63	syl 15	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (M = ((n +c n) +c 1c) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Oddfin )))
65	64	rexlimiv 2732	. . 3 ⊢ (∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c) → (M ≠ ∅ → Tfin M ∈ Oddfin ))
66	65	imp 418	. 2 ⊢ ((∃n ∈ Nn M = ((n +c n) +c 1c) ∧ M ≠ ∅) → Tfin M ∈ Oddfin )
67	7, 66	syl 15	1 ⊢ (M ∈ Oddfin → Tfin M ∈ Oddfin )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  ∅c0 3550  1_cc1c 4134  ℘₁cpw1 4135   Nn cnnc 4373   +_c cplc 4375   T_fin ctfin 4435   Odd_fin coddfin 4437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-tfin 4443  df-oddfin 4445

This theorem is referenced by:  vinf  4555