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Theorem vfinspss 4551
Description: If the universe is finite, then Spfin is a subset of its raisings and the cardinality of the universe. Theorem X.1.59 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vfinspss Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem vfinspss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfineq 4488 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin
21eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 Tfin Tfin
32cbvrexv 2836 . . . . . . . . 9 Spfin Tfin Spfin Tfin
4 vfinspsslem1 4550 . . . . . . . . . . . . 13 Fin Tfin Spfin Spfin Sfin Tfin Spfin Tfin
54expr 598 . . . . . . . . . . . 12 Fin Tfin Spfin Spfin Sfin Tfin Spfin Tfin
6 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . 15 Tfin Spfin Tfin Spfin
76anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14 Tfin Fin Spfin Fin Tfin Spfin
87anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Fin Spfin Spfin Fin Tfin Spfin Spfin
9 sfineq2 4527 . . . . . . . . . . . . . 14 Tfin Sfin Sfin Tfin
109imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13 Tfin Sfin Spfin Tfin Sfin Tfin Spfin Tfin
118, 10imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12 Tfin Fin Spfin Spfin Sfin Spfin Tfin Fin Tfin Spfin Spfin Sfin Tfin Spfin Tfin
125, 11mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11 Tfin Fin Spfin Spfin Sfin Spfin Tfin
1312com12 27 . . . . . . . . . 10 Fin Spfin Spfin Tfin Sfin Spfin Tfin
1413rexlimdva 2738 . . . . . . . . 9 Fin Spfin Spfin Tfin Sfin Spfin Tfin
153, 14syl5bi 208 . . . . . . . 8 Fin Spfin Spfin Tfin Sfin Spfin Tfin
16 sfineq2 4527 . . . . . . . . . . . 12 Ncfin Sfin Sfin Ncfin
1716biimpa 470 . . . . . . . . . . 11 Ncfin Sfin Sfin Ncfin
18 1cvsfin 4542 . . . . . . . . . . . 12 Fin Sfin Ncfin 1c Ncfin
19 sfin111 4536 . . . . . . . . . . . . 13 Sfin Ncfin 1c Ncfin Sfin Ncfin Ncfin 1c
20 tncveqnc1fin 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fin Tfin Ncfin Ncfin 1c
2120eqcomd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fin Ncfin 1c Tfin Ncfin
22 ncvspfin 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ncfin Spfin
23 tfineq 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ncfin Tfin Tfin Ncfin
2423eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ncfin Ncfin 1c Tfin Ncfin 1c Tfin Ncfin
2524rspcev 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ncfin Spfin Ncfin 1c Tfin Ncfin Spfin Ncfin 1c Tfin
2622, 25mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ncfin 1c Tfin Ncfin Spfin Ncfin 1c Tfin
2721, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 Fin Spfin Ncfin 1c Tfin
28 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ncfin 1c Ncfin 1c Tfin Tfin
2928rexbidv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ncfin 1c Spfin Ncfin 1c Tfin Spfin Tfin
3029biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ncfin 1c Spfin Ncfin 1c Tfin Spfin Tfin
3130com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14 Spfin Ncfin 1c Tfin Ncfin 1c Spfin Tfin
3227, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 Fin Ncfin 1c Spfin Tfin
3319, 32syl5 28 . . . . . . . . . . . 12 Fin Sfin Ncfin 1c Ncfin Sfin Ncfin Spfin Tfin
3418, 33mpand 656 . . . . . . . . . . 11 Fin Sfin Ncfin Spfin Tfin
3517, 34syl5 28 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Sfin Spfin Tfin
3635exp3a 425 . . . . . . . . 9 Fin Ncfin Sfin Spfin Tfin
3736adantr 451 . . . . . . . 8 Fin Spfin Ncfin Sfin Spfin Tfin
3815, 37jaod 369 . . . . . . 7 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin
3938imp3a 420 . . . . . 6 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin
40 elun 3220 . . . . . . . 8 Spfin Tfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin
41 vex 2862 . . . . . . . . . 10
42 eqeq1 2359 . . . . . . . . . . 11 Tfin Tfin
4342rexbidv 2635 . . . . . . . . . 10 Spfin Tfin Spfin Tfin
4441, 43elab 2985 . . . . . . . . 9 Spfin Tfin Spfin Tfin
4541elsnc 3756 . . . . . . . . 9 Ncfin Ncfin
4644, 45orbi12i 507 . . . . . . . 8 Spfin Tfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin
4740, 46bitri 240 . . . . . . 7 Spfin Tfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin
4847anbi1i 676 . . . . . 6 Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin Sfin
49 vex 2862 . . . . . . 7
50 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 Tfin Tfin
5150rexbidv 2635 . . . . . . 7 Spfin Tfin Spfin Tfin
5249, 51elab 2985 . . . . . 6 Spfin Tfin Spfin Tfin
5339, 48, 523imtr4g 261 . . . . 5 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin
54 ssun1 3426 . . . . . 6 Spfin Tfin Spfin Tfin Ncfin
5554sseli 3269 . . . . 5 Spfin Tfin Spfin Tfin Ncfin
5653, 55syl6 29 . . . 4 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin
5756alrimiv 1631 . . 3 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin
5857ralrimiva 2697 . 2 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin
59 vex 2862 . . . . . . . . 9
6059elimak 4259 . . . . . . . 8 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k1 Spfin 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
61 df-rex 2620 . . . . . . . . 9 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
62 elpw1 4144 . . . . . . . . . . . . 13 1 Spfin Spfin
6362anbi1i 676 . . . . . . . . . . . 12 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
64 r19.41v 2764 . . . . . . . . . . . 12 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
6563, 64bitr4i 243 . . . . . . . . . . 11 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
6665exbii 1582 . . . . . . . . . 10 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
67 rexcom4 2878 . . . . . . . . . 10 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
6866, 67bitr4i 243 . . . . . . . . 9 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
6961, 68bitri 240 . . . . . . . 8 1 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
7060, 69bitri 240 . . . . . . 7 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k1 Spfin Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
71 snex 4111 . . . . . . . . . 10
72 opkeq1 4059 . . . . . . . . . . 11
7372eleq1d 2419 . . . . . . . . . 10 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
7471, 73ceqsexv 2894 . . . . . . . . 9 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
75 vex 2862 . . . . . . . . . 10
7675, 59eqtfinrelk 4486 . . . . . . . . 9 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Tfin
7774, 76bitri 240 . . . . . . . 8 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Tfin
7877rexbii 2639 . . . . . . 7 Spfin k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k Spfin Tfin
7970, 78bitri 240 . . . . . 6 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k1 Spfin Spfin Tfin
8079abbi2i 2464 . . . . 5 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k1 Spfin Spfin Tfin
81 tfinrelkex 4487 . . . . . 6 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k
82 spfinex 4537 . . . . . . 7 Spfin
8382pw1ex 4303 . . . . . 6 1 Spfin
8481, 83imakex 4300 . . . . 5 k Ins2k Sk Ins3k Ins3k k Sk Ins2k Ins2k Nn k Ins2k SIk Sk Ins3k Ins3k SIk 1c k Ins3k Sk Ins2k SIk Sk k1 1 1 1c Ins2k Sk k1 1 1ck1 1 1 1c Ins3k k k1 1ck1 1ck1 1 1c k k1 Spfin
8580, 84eqeltrri 2424 . . . 4 Spfin Tfin
86 snex 4111 . . . 4 Ncfin
8785, 86unex 4106 . . 3 Spfin Tfin Ncfin
88 ssun2 3427 . . . 4 Ncfin Spfin Tfin Ncfin
89 ncfinex 4472 . . . . 5 Ncfin
9089snid 3760 . . . 4 Ncfin Ncfin
9188, 90sselii 3270 . . 3 Ncfin Spfin Tfin Ncfin
92 spfininduct 4540 . . 3 Spfin Tfin Ncfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin Spfin Spfin Tfin Ncfin
9387, 91, 92mp3an12 1267 . 2 Spfin Spfin Tfin Ncfin Sfin Spfin Tfin Ncfin Spfin Spfin Tfin Ncfin
9458, 93syl 15 1 Fin Spfin Spfin Tfin Ncfin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   wi 4   wo 357   wa 358  wal 1540  wex 1541   wceq 1642   wcel 1710  cab 2339  wral 2614  wrex 2615  cvv 2859   ∼ ccompl 3205   cdif 3206   cun 3207   cin 3208   csymdif 3209   wss 3257  c0 3550  cpw 3722  csn 3737  copk 4057  1cc1c 4134  1 cpw1 4135   k cxpk 4174  kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177  kcimak 4179   SIk csik 4181   Sk cssetk 4183   k cidk 4184   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4434   Tfin ctfin 4435   Sfin wsfin 4438   Spfin cspfin 4439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-sfin 4446  df-spfin 4447
This theorem is referenced by:  vfinspeqtncv  4553
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