Theorem vfinncvntnn 4548

Description: If the universe is finite, then the size of the universe is not the T-raising of a natural. Theorem X.1.58 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinncvntnn	|- ((_V e. Fin /\ N e. Nn ) -> Tfin N =/= Ncfin _V)

Proof of Theorem vfinncvntnn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vvex 4109	. . . . . . . 8 |- _V e. _V
2		ncfinprop 4474	. . . . . . . 8 |- ((_V e. Fin /\ _V e. _V) -> ( Ncfin _V e. Nn /\ _V e. Ncfin _V))
3	1, 2	mpan2 652	. . . . . . 7 |- (_V e. Fin -> ( Ncfin _V e. Nn /\ _V e. Ncfin _V))
4	3	simprd 449	. . . . . 6 |- (_V e. Fin -> _V e. Ncfin _V)
5		ne0i 3556	. . . . . 6 |- (_V e. Ncfin _V -> Ncfin _V =/= (/))
6	4, 5	syl 15	. . . . 5 |- (_V e. Fin -> Ncfin _V =/= (/))
7	6	necomd 2599	. . . 4 |- (_V e. Fin -> (/) =/= Ncfin _V)
8		tfineq 4488	. . . . . 6 |- (N = (/) -> Tfin N = Tfin (/))
9		tfinnul 4491	. . . . . 6 |- Tfin (/) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . 5 |- (N = (/) -> Tfin N = (/))
11	10	neeq1d 2529	. . . 4 |- (N = (/) -> ( Tfin N =/= Ncfin _V <-> (/) =/= Ncfin _V))
12	7, 11	syl5ibr 212	. . 3 |- (N = (/) -> (_V e. Fin -> Tfin N =/= Ncfin _V))
13	12	adantrd 454	. 2 |- (N = (/) -> ((_V e. Fin /\ N e. Nn ) -> Tfin N =/= Ncfin _V))
14	2	simpld 445	. . . . . . . . 9 |- ((_V e. Fin /\ _V e. _V) -> Ncfin _V e. Nn )
15	1, 14	mpan2 652	. . . . . . . 8 |- (_V e. Fin -> Ncfin _V e. Nn )
16		ltfinirr 4457	. . . . . . . 8 |- ( Ncfin _V e. Nn -> -. << Ncfin _V, Ncfin _V>> e. <fin )
17	15, 16	syl 15	. . . . . . 7 |- (_V e. Fin -> -. << Ncfin _V, Ncfin _V>> e. <fin )
18	17	3ad2ant1 976	. . . . . 6 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> -. << Ncfin _V, Ncfin _V>> e. <fin )
19		vfintle 4546	. . . . . . . 8 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> << Tfin N, Ncfin 1c>> e. <_fin )
20		vfin1cltv 4547	. . . . . . . . 9 |- (_V e. Fin -> << Ncfin 1c, Ncfin _V>> e. <fin )
21	20	3ad2ant1 976	. . . . . . . 8 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> << Ncfin 1c, Ncfin _V>> e. <fin )
22		tfinprop 4489	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. Nn /\ N =/= (/)) -> ( Tfin N e. Nn /\ E.a e. N ~P1 a e. Tfin N))
23	22	simpld 445	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. Nn /\ N =/= (/)) -> Tfin N e. Nn )
24	23	3adant1 973	. . . . . . . . 9 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> Tfin N e. Nn )
25		1cex 4142	. . . . . . . . . . 11 |- 1c e. _V
26		ncfinprop 4474	. . . . . . . . . . . 12 |- ((_V e. Fin /\ 1c e. _V) -> ( Ncfin 1c e. Nn /\ 1c e. Ncfin 1c))
27	26	simpld 445	. . . . . . . . . . 11 |- ((_V e. Fin /\ 1c e. _V) -> Ncfin 1c e. Nn )
28	25, 27	mpan2 652	. . . . . . . . . 10 |- (_V e. Fin -> Ncfin 1c e. Nn )
29	28	3ad2ant1 976	. . . . . . . . 9 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> Ncfin 1c e. Nn )
30	15	3ad2ant1 976	. . . . . . . . 9 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> Ncfin _V e. Nn )
31		leltfintr 4458	. . . . . . . . 9 |- (( Tfin N e. Nn /\ Ncfin 1c e. Nn /\ Ncfin _V e. Nn ) -> ((<< Tfin N, Ncfin 1c>> e. <_fin /\ << Ncfin 1c, Ncfin _V>> e. <fin ) -> << Tfin N, Ncfin _V>> e. <fin ))
32	24, 29, 30, 31	syl3anc 1182	. . . . . . . 8 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> ((<< Tfin N, Ncfin 1c>> e. <_fin /\ << Ncfin 1c, Ncfin _V>> e. <fin ) -> << Tfin N, Ncfin _V>> e. <fin ))
33	19, 21, 32	mp2and 660	. . . . . . 7 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> << Tfin N, Ncfin _V>> e. <fin )
34		opkeq1 4059	. . . . . . . 8 |- ( Tfin N = Ncfin _V -> << Tfin N, Ncfin _V>> = << Ncfin _V, Ncfin _V>>)
35	34	eleq1d 2419	. . . . . . 7 |- ( Tfin N = Ncfin _V -> (<< Tfin N, Ncfin _V>> e. <fin <-> << Ncfin _V, Ncfin _V>> e. <fin ))
36	33, 35	syl5ibcom 211	. . . . . 6 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> ( Tfin N = Ncfin _V -> << Ncfin _V, Ncfin _V>> e. <fin ))
37	18, 36	mtod 168	. . . . 5 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> -. Tfin N = Ncfin _V)
38		df-ne 2518	. . . . 5 |- ( Tfin N =/= Ncfin _V <-> -. Tfin N = Ncfin _V)
39	37, 38	sylibr 203	. . . 4 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn /\ N =/= (/)) -> Tfin N =/= Ncfin _V)
40	39	3expa 1151	. . 3 |- (((_V e. Fin /\ N e. Nn ) /\ N =/= (/)) -> Tfin N =/= Ncfin _V)
41	40	expcom 424	. 2 |- (N =/= (/) -> ((_V e. Fin /\ N e. Nn ) -> Tfin N =/= Ncfin _V))
42	13, 41	pm2.61ine 2592	1 |- ((_V e. Fin /\ N e. Nn ) -> Tfin N =/= Ncfin _V)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2516  E.wrex 2615  _Vcvv 2859  (/)c0 3550  <<copk 4057  1_cc1c 4134  ~P₁ cpw1 4135   Nn cnnc 4373   Fin cfin 4376   <__fin clefin 4432   <_fin cltfin 4433   Nc_fin cncfin 4434   T_fin ctfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443

This theorem is referenced by:  vfinncvntsp  4549