Theorem vfinncvntnn 4549

Description: If the universe is finite, then the size of the universe is not the T-raising of a natural. Theorem X.1.58 of [Rosser] p. 534. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
vfinncvntnn	⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → Tfin N ≠ Ncfin V)

Proof of Theorem vfinncvntnn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vvex 4110	. . . . . . . 8 ⊢ V ∈ V
2		ncfinprop 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ V ∈ V) → ( Ncfin V ∈ Nn ∧ V ∈ Ncfin V))
3	1, 2	mpan2 652	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ( Ncfin V ∈ Nn ∧ V ∈ Ncfin V))
4	3	simprd 449	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Fin → V ∈ Ncfin V)
5		ne0i 3557	. . . . . 6 ⊢ (V ∈ Ncfin V → Ncfin V ≠ ∅)
6	4, 5	syl 15	. . . . 5 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin V ≠ ∅)
7	6	necomd 2600	. . . 4 ⊢ (V ∈ Fin → ∅ ≠ Ncfin V)
8		tfineq 4489	. . . . . 6 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = Tfin ∅)
9		tfinnul 4492	. . . . . 6 ⊢ Tfin ∅ = ∅
10	8, 9	syl6eq 2401	. . . . 5 ⊢ (N = ∅ → Tfin N = ∅)
11	10	neeq1d 2530	. . . 4 ⊢ (N = ∅ → ( Tfin N ≠ Ncfin V ↔ ∅ ≠ Ncfin V))
12	7, 11	syl5ibr 212	. . 3 ⊢ (N = ∅ → (V ∈ Fin → Tfin N ≠ Ncfin V))
13	12	adantrd 454	. 2 ⊢ (N = ∅ → ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → Tfin N ≠ Ncfin V))
14	2	simpld 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ V ∈ V) → Ncfin V ∈ Nn )
15	1, 14	mpan2 652	. . . . . . . 8 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin V ∈ Nn )
16		ltfinirr 4458	. . . . . . . 8 ⊢ ( Ncfin V ∈ Nn → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
17	15, 16	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (V ∈ Fin → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
18	17	3ad2ant1 976	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ¬ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
19		vfintle 4547	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin )
20		vfin1cltv 4548	. . . . . . . . 9 ⊢ (V ∈ Fin → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
21	20	3ad2ant1 976	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
22		tfinprop 4490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ( Tfin N ∈ Nn ∧ ∃a ∈ N ℘1a ∈ Tfin N))
23	22	simpld 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Tfin N ∈ Nn )
24	23	3adant1 973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Tfin N ∈ Nn )
25		1cex 4143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1c ∈ V
26		ncfinprop 4475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) → ( Ncfin 1c ∈ Nn ∧ 1c ∈ Ncfin 1c))
27	26	simpld 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ 1c ∈ V) → Ncfin 1c ∈ Nn )
28	25, 27	mpan2 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (V ∈ Fin → Ncfin 1c ∈ Nn )
29	28	3ad2ant1 976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Ncfin 1c ∈ Nn )
30	15	3ad2ant1 976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Ncfin V ∈ Nn )
31		leltfintr 4459	. . . . . . . . 9 ⊢ (( Tfin N ∈ Nn ∧ Ncfin 1c ∈ Nn ∧ Ncfin V ∈ Nn ) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ∧ ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ ∈ <fin ))
32	24, 29, 30, 31	syl3anc 1182	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ((⟪ Tfin N, Ncfin 1c⟫ ∈ ≤fin ∧ ⟪ Ncfin 1c, Ncfin V⟫ ∈ <fin ) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ ∈ <fin ))
33	19, 21, 32	mp2and 660	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ ∈ <fin )
34		opkeq1 4060	. . . . . . . 8 ⊢ ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ = ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫)
35	34	eleq1d 2419	. . . . . . 7 ⊢ ( Tfin N = Ncfin V → (⟪ Tfin N, Ncfin V⟫ ∈ <fin ↔ ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ ∈ <fin ))
36	33, 35	syl5ibcom 211	. . . . . 6 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ( Tfin N = Ncfin V → ⟪ Ncfin V, Ncfin V⟫ ∈ <fin ))
37	18, 36	mtod 168	. . . . 5 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → ¬ Tfin N = Ncfin V)
38		df-ne 2519	. . . . 5 ⊢ ( Tfin N ≠ Ncfin V ↔ ¬ Tfin N = Ncfin V)
39	37, 38	sylibr 203	. . . 4 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ∧ N ≠ ∅) → Tfin N ≠ Ncfin V)
40	39	3expa 1151	. . 3 ⊢ (((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) ∧ N ≠ ∅) → Tfin N ≠ Ncfin V)
41	40	expcom 424	. 2 ⊢ (N ≠ ∅ → ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → Tfin N ≠ Ncfin V))
42	13, 41	pm2.61ine 2593	1 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ N ∈ Nn ) → Tfin N ≠ Ncfin V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860  ∅c0 3551  ⟪copk 4058  1_cc1c 4135  ℘₁cpw1 4136   Nn cnnc 4374   Fin cfin 4377   ≤_fin clefin 4433   <_fin cltfin 4434   Nc_fin cncfin 4435   T_fin ctfin 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444

This theorem is referenced by:  vfinncvntsp  4550