Theorem eupickbi 2270

Description: Theorem *14.26 in [WhiteheadRussell] p. 192. (Contributed by Andrew Salmon, 11-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eupickbi	⊢ (∃!xφ → (∃x(φ ∧ ψ) ↔ ∀x(φ → ψ)))

Proof of Theorem eupickbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupicka 2268	. . 3 ⊢ ((∃!xφ ∧ ∃x(φ ∧ ψ)) → ∀x(φ → ψ))
2	1	ex 423	. 2 ⊢ (∃!xφ → (∃x(φ ∧ ψ) → ∀x(φ → ψ)))
3		nfa1 1788	. . . . 5 ⊢ Ⅎx∀x(φ → ψ)
4		ancl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((φ → ψ) → (φ → (φ ∧ ψ)))
5		simpl 443	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ ψ) → φ)
6	4, 5	impbid1 194	. . . . . 6 ⊢ ((φ → ψ) → (φ ↔ (φ ∧ ψ)))
7	6	sps 1754	. . . . 5 ⊢ (∀x(φ → ψ) → (φ ↔ (φ ∧ ψ)))
8	3, 7	eubid 2211	. . . 4 ⊢ (∀x(φ → ψ) → (∃!xφ ↔ ∃!x(φ ∧ ψ)))
9		euex 2227	. . . 4 ⊢ (∃!x(φ ∧ ψ) → ∃x(φ ∧ ψ))
10	8, 9	syl6bi 219	. . 3 ⊢ (∀x(φ → ψ) → (∃!xφ → ∃x(φ ∧ ψ)))
11	10	com12 27	. 2 ⊢ (∃!xφ → (∀x(φ → ψ) → ∃x(φ ∧ ψ)))
12	2, 11	impbid 183	1 ⊢ (∃!xφ → (∃x(φ ∧ ψ) ↔ ∀x(φ → ψ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541  ∃!weu 2204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209

This theorem is referenced by: (None)