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Theorem ud3lem3d 575
Description: Lemma for unified disjunction. (Contributed by NM, 27-Nov-1997.)
Assertion
Ref Expression
ud3lem3d ((a3 b) ∩ ((a3 b) ∪ (ab))) = ((ab) ∪ (a ∩ (ab)))

Proof of Theorem ud3lem3d
StepHypRef Expression
1 df-i3 46 . . 3 (a3 b) = (((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ (ab)))
2 ud3lem3c 574 . . 3 ((a3 b) ∪ (ab)) = (ab)
31, 22an 79 . 2 ((a3 b) ∩ ((a3 b) ∪ (ab))) = ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ (ab))) ∩ (ab))
4 comor1 461 . . . . . . 7 (ab) C a
54comcom2 183 . . . . . 6 (ab) C a
6 comor2 462 . . . . . 6 (ab) C b
75, 6com2an 484 . . . . 5 (ab) C (ab)
86comcom2 183 . . . . . 6 (ab) C b
95, 8com2an 484 . . . . 5 (ab) C (ab )
107, 9com2or 483 . . . 4 (ab) C ((ab) ∪ (ab ))
115, 6com2or 483 . . . . 5 (ab) C (ab)
124, 11com2an 484 . . . 4 (ab) C (a ∩ (ab))
1310, 12fh1r 473 . . 3 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ (ab))) ∩ (ab)) = ((((ab) ∪ (ab )) ∩ (ab)) ∪ ((a ∩ (ab)) ∩ (ab)))
14 coman1 185 . . . . . . . . 9 (ab) C a
1514comcom7 460 . . . . . . . 8 (ab) C a
16 coman2 186 . . . . . . . 8 (ab) C b
1715, 16com2or 483 . . . . . . 7 (ab) C (ab)
1816comcom2 183 . . . . . . . 8 (ab) C b
1914, 18com2an 484 . . . . . . 7 (ab) C (ab )
2017, 19fh2r 474 . . . . . 6 (((ab) ∪ (ab )) ∩ (ab)) = (((ab) ∩ (ab)) ∪ ((ab ) ∩ (ab)))
21 lear 161 . . . . . . . . . 10 (ab) ≤ b
22 leor 159 . . . . . . . . . 10 b ≤ (ab)
2321, 22letr 137 . . . . . . . . 9 (ab) ≤ (ab)
2423df2le2 136 . . . . . . . 8 ((ab) ∩ (ab)) = (ab)
25 oran 87 . . . . . . . . . 10 (ab) = (ab )
2625lan 77 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ (ab)) = ((ab ) ∩ (ab ) )
27 dff 101 . . . . . . . . . 10 0 = ((ab ) ∩ (ab ) )
2827ax-r1 35 . . . . . . . . 9 ((ab ) ∩ (ab ) ) = 0
2926, 28ax-r2 36 . . . . . . . 8 ((ab ) ∩ (ab)) = 0
3024, 292or 72 . . . . . . 7 (((ab) ∩ (ab)) ∪ ((ab ) ∩ (ab))) = ((ab) ∪ 0)
31 or0 102 . . . . . . 7 ((ab) ∪ 0) = (ab)
3230, 31ax-r2 36 . . . . . 6 (((ab) ∩ (ab)) ∪ ((ab ) ∩ (ab))) = (ab)
3320, 32ax-r2 36 . . . . 5 (((ab) ∪ (ab )) ∩ (ab)) = (ab)
3433ax-r5 38 . . . 4 ((((ab) ∪ (ab )) ∩ (ab)) ∪ ((a ∩ (ab)) ∩ (ab))) = ((ab) ∪ ((a ∩ (ab)) ∩ (ab)))
35 lea 160 . . . . . . 7 (a ∩ (ab)) ≤ a
36 leo 158 . . . . . . 7 a ≤ (ab)
3735, 36letr 137 . . . . . 6 (a ∩ (ab)) ≤ (ab)
3837df2le2 136 . . . . 5 ((a ∩ (ab)) ∩ (ab)) = (a ∩ (ab))
3938lor 70 . . . 4 ((ab) ∪ ((a ∩ (ab)) ∩ (ab))) = ((ab) ∪ (a ∩ (ab)))
4034, 39ax-r2 36 . . 3 ((((ab) ∪ (ab )) ∩ (ab)) ∪ ((a ∩ (ab)) ∩ (ab))) = ((ab) ∪ (a ∩ (ab)))
4113, 40ax-r2 36 . 2 ((((ab) ∪ (ab )) ∪ (a ∩ (ab))) ∩ (ab)) = ((ab) ∪ (a ∩ (ab)))
423, 41ax-r2 36 1 ((a3 b) ∩ ((a3 b) ∪ (ab))) = ((ab) ∪ (a ∩ (ab)))
Colors of variables: term
Syntax hints:   = wb 1   wn 4  wo 6  wa 7  0wf 9  3 wi3 14
This theorem was proved from axioms:  ax-a1 30  ax-a2 31  ax-a3 32  ax-a4 33  ax-a5 34  ax-r1 35  ax-r2 36  ax-r4 37  ax-r5 38  ax-r3 439
This theorem depends on definitions:  df-b 39  df-a 40  df-t 41  df-f 42  df-i3 46  df-le1 130  df-le2 131  df-c1 132  df-c2 133
This theorem is referenced by:  ud3lem3  576
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