Theorem exmidunben 11939

Description: If any unbounded set of positive integers is equinumerous to NN, then the Limited Principle of Omniscience (LPO) implies excluded middle. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
exmidunben	|- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Distinct variable group:   m, n, x

Proof of Theorem exmidunben

Dummy variables f y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
2	1	enref 6659	. . . . . . . . . 10 |- y ~~ y
3		2z 9082	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
4		uzennn 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. ZZ -> ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN
6		djuen 7067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ~~ y /\ ( ZZ>= ` 2 ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN ) )
7	2, 5, 6	mp2an 422	. . . . . . . . 9 |- ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y ⊔ NN )
8	7	ensymi 6676	. . . . . . . 8 |- ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) )
9		zex 9063	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
10		uzssz 9345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ZZ
11	9, 10	ssexi 4066	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) e. _V
12		1re 7765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. RR
13	12	ltnri 7856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 1 < 1
14		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> y C_ { 1 } )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. y )
16	14, 15	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z e. { 1 } )
17		elsni 3545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. { 1 } -> z = 1 )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> z = 1 )
19	18	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> ( 1 < z <-> 1 < 1 ) )
20	13, 19	mtbiri 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. 1 < z )
21		eluz2gt1 9396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < z )
22	20, 21	nsyl 617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ z e. y ) -> -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23	22	ralrimiva 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		disj 3411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) <-> A. z e. y -. z e. ( ZZ>= ` 2 ) )
25	23, 24	sylibr 133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) )
26		endjudisj 7066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. _V /\ ( ZZ>= ` 2 ) e. _V /\ ( y i^i ( ZZ>= ` 2 ) ) = (/) ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
27	1, 11, 25, 26	mp3an12i 1319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
28		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ { 1 } )
29		1nn 8731	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
30		snssi 3664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- { 1 } C_ NN
32	28, 31	sstrdi 3109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> y C_ NN )
33		2nn 8881	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
34		uznnssnn 9372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. NN -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
35	33, 34	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
36	32, 35	unssd 3252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN )
37		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m x C_ NN
38		nfra1 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m A. m e. NN E. n e. x m < n
39	37, 38	nfan 1544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n )
40		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m x ~~ NN
41	39, 40	nfim 1551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ m ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
42	41	nfal 1555	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN )
43		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ m om e. Omni
44	42, 43	nfan 1544	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni )
45		nfv 1508	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ m y C_ { 1 }
46	44, 45	nfan 1544	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	47	peano2nnd 8735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
49	48	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
50		0p1e1 8834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 + 1 ) = 1
51		0red 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 e. RR )
52		nnre 8727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> m e. RR )
53		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 1 e. RR )
54		nngt0 8745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. NN -> 0 < m )
55	51, 52, 53, 54	ltadd1dd 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( 0 + 1 ) < ( m + 1 ) )
56	50, 55	eqbrtrrid 3964	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> 1 < ( m + 1 ) )
57	56	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> 1 < ( m + 1 ) )
58		eluz2b1 9395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( m + 1 ) e. ZZ /\ 1 < ( m + 1 ) ) )
59	49, 57, 58	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
60		elun2 3244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
61	59, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
62	47	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m e. RR )
63	62	ltp1d 8688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> m < ( m + 1 ) )
64		breq2 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( m < n <-> m < ( m + 1 ) ) )
65	64	rspcev 2789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m + 1 ) e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ m < ( m + 1 ) ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
66	61, 63, 65	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ m e. NN ) -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
67	66	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( m e. NN -> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
68	46, 67	ralrimi 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n )
69	1, 11	unex 4362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) e. _V
70		sseq1 3120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x C_ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN ) )
71		rexeq 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( E. n e. x m < n <-> E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
72	71	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A. m e. NN E. n e. x m < n <-> A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) )
73	70, 72	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) <-> ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) ) )
74		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( x ~~ NN <-> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
75	73, 74	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) <-> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) ) )
76	69, 75	spcv 2779	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
77	76	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( ( ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) m < n ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) )
78	36, 68, 77	mp2and 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
79		entr 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
80	27, 78, 79	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN )
81		entr 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y ⊔ NN ) ~~ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( y ⊔ ( ZZ>= ` 2 ) ) ~~ NN ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
82	8, 80, 81	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y ⊔ NN ) ~~ NN )
83	82	ensymd 6677	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> NN ~~ ( y ⊔ NN ) )
84		bren 6641	. . . . . 6 |- ( NN ~~ ( y ⊔ NN ) <-> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
85	83, 84	sylib 121	. . . . 5 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) )
86		simpllr 523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> om e. Omni )
87		nnenom 10207	. . . . . . . . . 10 |- NN ~~ om
88		enomni 7011	. . . . . . . . . 10 |- ( NN ~~ om -> ( NN e. Omni <-> om e. Omni ) )
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( NN e. Omni <-> om e. Omni )
90	86, 89	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> NN e. Omni )
91		f1ofo 5374	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
92	91	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> f : NN -onto-> ( y ⊔ NN ) )
93	90, 92	fodjuomni 7021	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y \/ y = (/) ) )
94	93	orcomd 718	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ E. w w e. y ) )
95		simplr 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> y C_ { 1 } )
96		sssnm 3681	. . . . . . . 8 |- ( E. w w e. y -> ( y C_ { 1 } <-> y = { 1 } ) )
97	95, 96	syl5ibcom 154	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( E. w w e. y -> y = { 1 } ) )
98	97	orim2d 777	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( ( y = (/) \/ E. w w e. y ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
99	94, 98	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) /\ f : NN -1-1-onto-> ( y ⊔ NN ) ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
100	85, 99	exlimddv 1870	. . . 4 |- ( ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) /\ y C_ { 1 } ) -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) )
101	100	ex 114	. . 3 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
102	101	alrimiv 1846	. 2 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
103		exmidsssnc 4126	. . 3 |- ( 1 e. NN -> (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) ) )
104	29, 103	ax-mp 5	. 2 |- (EXMID <-> A. y ( y C_ { 1 } -> ( y = (/) \/ y = { 1 } ) ) )
105	102, 104	sylibr 133	1 |- ( ( A. x ( ( x C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. x m < n ) -> x ~~ NN ) /\ om e. Omni ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   u. cun 3069   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929  EXMIDwem 4118   omcom 4504   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ~~ cen 6632   ⊔ cdju 6922  Omnicomni 7004   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   < clt 7800   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-map 6544  df-en 6635  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-omni 7006  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)