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Theorem frecuzrdgsuctlem 9557
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 9533 for the description of 𝐺 as the mapping from ω to (ℤ𝐶). (Contributed by Jim Kingdon, 29-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frecuzrdgrclt.a (𝜑𝐴𝑆)
frecuzrdgrclt.t (𝜑𝑆𝑇)
frecuzrdgrclt.f ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
frecuzrdgrclt.r 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
frecuzrdgsuctlem.g 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frecuzrdgsuctlem.ran (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuctlem ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem frecuzrdgsuctlem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frecuzrdgrclt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
3 frecuzrdgrclt.t . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑇)
4 frecuzrdgrclt.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
5 frecuzrdgrclt.r . . . . . 6 𝑅 = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)
6 frecuzrdgsuctlem.ran . . . . . 6 (𝜑𝑃 = ran 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6frecuzrdgtclt 9555 . . . . 5 (𝜑𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
87adantr 270 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆)
9 ffun 5099 . . . 4 (𝑃:(ℤ𝐶)⟶𝑆 → Fun 𝑃)
108, 9syl 14 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑃)
11 1st2nd2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → 𝑧 = ⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → 𝑧 = ⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1312fveq2d 5233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩))
14 df-ov 5566 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨(1st𝑧), (2nd𝑧)⟩)
1513, 14syl6eqr 2133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)))
16 xp1st 5843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
1716adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶))
183ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → 𝑆𝑇)
19 xp2nd 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd𝑧) ∈ 𝑆)
2019adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑆)
2118, 20sseldd 3009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (2nd𝑧) ∈ 𝑇)
22 peano2uz 8804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶) → ((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶))
24 oveq2 5571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (2nd𝑧) → ((1st𝑧)𝐹𝑦) = ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)))
2524eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (2nd𝑧) → (((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆))
26 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1st𝑧) → (𝑥𝐹𝑦) = ((1st𝑧)𝐹𝑦))
2726eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (1st𝑧) → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
2827ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (1st𝑧) → (∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑦𝑆 ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
294ralrimivva 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝐶)∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3029ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝐶)∀𝑦𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3128, 30, 17rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ∀𝑦𝑆 ((1st𝑧)𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
3225, 31, 20rspcdva 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆)
33 opelxpi 4422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((1st𝑧) + 1) ∈ (ℤ𝐶) ∧ ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧)) ∈ 𝑆) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
3423, 32, 33syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
35 oveq1 5570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (1st𝑧) → (𝑥 + 1) = ((1st𝑧) + 1))
3635, 26opeq12d 3598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1st𝑧) → ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩ = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹𝑦)⟩)
3724opeq2d 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (2nd𝑧) → ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹𝑦)⟩ = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
38 eqid 2083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩) = (𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)
3936, 37, 38ovmpt2g 5686 . . . . . . . . . . . . 13 (((1st𝑧) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd𝑧) ∈ 𝑇 ∧ ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4017, 21, 34, 39syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((1st𝑧)(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd𝑧)) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4115, 40eqtrd 2115 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) = ⟨((1st𝑧) + 1), ((1st𝑧)𝐹(2nd𝑧))⟩)
4241, 34eqeltrd 2159 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4342ralrimiva 2439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ∀𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
44 uzid 8766 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
451, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (ℤ𝐶))
46 opelxpi 4422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝐴𝑆) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4745, 2, 46syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
4847adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
49 frecuzrdgsuctlem.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
501, 49frec2uzf1od 9540 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶))
51 f1ocnvdm 5472 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
5250, 51sylan 277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ ω)
53 frecsuc 6076 . . . . . . . . 9 ((∀𝑧 ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘𝑧) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ∧ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ∧ (𝐺𝐵) ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))))
5443, 48, 52, 53syl3anc 1170 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))))
555fveq1i 5230 . . . . . . . 8 (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘suc (𝐺𝐵))
565fveq1i 5230 . . . . . . . . 9 (𝑅‘(𝐺𝐵)) = (frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵))
5756fveq2i 5232 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(frec((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩)‘(𝐺𝐵)))
5854, 55, 573eqtr4g 2140 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))
591, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 9549 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
6059adantr 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆))
6160, 52ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
62 1st2nd2 5852 . . . . . . . . . 10 ((𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
6361, 62syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
641adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
652adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐴𝑆)
663adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑆𝑇)
674adantlr 461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
6864, 65, 66, 67, 5, 52, 49frecuzrdgg 9550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = (𝐺‘(𝐺𝐵)))
69 f1ocnvfv2 5469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝐶) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
7050, 69sylan 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺‘(𝐺𝐵)) = 𝐵)
7168, 70eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = 𝐵)
7271opeq1d 3596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(1st ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))), (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7363, 72eqtrd 2115 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) = ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7473fveq2d 5233 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩))
7558, 74eqtrd 2115 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩))
76 df-ov 5566 . . . . . 6 (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ((𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)‘⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩)
7775, 76syl6eqr 2133 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
78 simpr 108 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐶))
79 xp2nd 5844 . . . . . . . 8 ((𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑆)
8061, 79syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑆)
8166, 80sseldd 3009 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑇)
82 peano2uz 8804 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐶) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶))
8382adantl 271 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶))
8467, 78, 80caovcld 5705 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) ∈ 𝑆)
85 opelxp 4420 . . . . . . 7 (⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆) ↔ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) ∈ 𝑆))
8683, 84, 85sylanbrc 408 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆))
87 oveq1 5570 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 + 1) = (𝐵 + 1))
88 oveq1 5570 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐵𝐹𝑦))
8987, 88opeq12d 3598 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩ = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹𝑦)⟩)
90 oveq2 5571 . . . . . . . 8 (𝑦 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) → (𝐵𝐹𝑦) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
9190opeq2d 3597 . . . . . . 7 (𝑦 = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹𝑦)⟩ = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9289, 91, 38ovmpt2g 5686 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐶) ∧ (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))) ∈ 𝑇 ∧ ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ ((ℤ𝐶) × 𝑆)) → (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9378, 81, 86, 92syl3anc 1170 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵(𝑥 ∈ (ℤ𝐶), 𝑦𝑇 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩)(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
9477, 93eqtrd 2115 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) = ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩)
95 ffun 5099 . . . . . . 7 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → Fun 𝑅)
9660, 95syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → Fun 𝑅)
97 peano2 4364 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐵) ∈ ω → suc (𝐺𝐵) ∈ ω)
9852, 97syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → suc (𝐺𝐵) ∈ ω)
99 fdm 5101 . . . . . . . 8 (𝑅:ω⟶((ℤ𝐶) × 𝑆) → dom 𝑅 = ω)
10060, 99syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → dom 𝑅 = ω)
10198, 100eleqtrrd 2162 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → suc (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅)
102 fvelrn 5350 . . . . . 6 ((Fun 𝑅 ∧ suc (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
10396, 101, 102syl2anc 403 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
1046adantr 270 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝑃 = ran 𝑅)
105103, 104eleqtrrd 2162 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘suc (𝐺𝐵)) ∈ 𝑃)
10694, 105eqeltrrd 2160 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ 𝑃)
107 funopfv 5265 . . 3 (Fun 𝑃 → (⟨(𝐵 + 1), (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))))
10810, 106, 107sylc 61 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
10952, 100eleqtrrd 2162 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅)
110 fvelrn 5350 . . . . . . 7 ((Fun 𝑅 ∧ (𝐺𝐵) ∈ dom 𝑅) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
11196, 109, 110syl2anc 403 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ ran 𝑅)
112111, 104eleqtrrd 2162 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑅‘(𝐺𝐵)) ∈ 𝑃)
11373, 112eqeltrrd 2160 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → ⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ 𝑃)
114 funopfv 5265 . . . 4 (Fun 𝑃 → (⟨𝐵, (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))⟩ ∈ 𝑃 → (𝑃𝐵) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
11510, 113, 114sylc 61 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃𝐵) = (2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵))))
116115oveq2d 5579 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝐵𝐹(𝑃𝐵)) = (𝐵𝐹(2nd ‘(𝑅‘(𝐺𝐵)))))
117108, 116eqtr4d 2118 1 ((𝜑𝐵 ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑃‘(𝐵 + 1)) = (𝐵𝐹(𝑃𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wss 2982  cop 3419  cmpt 3859  suc csuc 4148  ωcom 4359   × cxp 4389  ccnv 4390  dom cdm 4391  ran crn 4392  Fun wfun 4946  wf 4948  1-1-ontowf1o 4951  cfv 4952  (class class class)co 5563  cmpt2 5565  1st c1st 5816  2nd c2nd 5817  freccfrec 6059  1c1 7096   + caddc 7098  cz 8484  cuz 8752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753
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