ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd3 GIF version

Theorem faclbnd3 9611
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 8241 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
2 nnre 7997 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
32adantr 265 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
4 nnge1 8013 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
54adantr 265 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝑀)
6 nn0z 8322 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 266 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
8 uzid 8583 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
9 peano2uz 8622 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
113, 5, 10leexp2ad 9578 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)))
12 nnnn0 8246 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
13 faclbnd 9609 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
1412, 13sylan 271 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
15 nn0re 8248 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
16 reexpcl 9437 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
1715, 16sylan 271 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℝ)
18 peano2nn0 8279 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 reexpcl 9437 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2015, 18, 19syl2an 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
21 reexpcl 9437 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
2215, 21mpancom 407 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝑀) ∈ ℝ)
23 faccl 9603 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnred 8003 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
25 remulcl 7067 . . . . . . 7 (((𝑀𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
2622, 24, 25syl2an 277 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
27 letr 7160 . . . . . 6 (((𝑀𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1146 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
2912, 28sylan 271 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑀𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁))))
3011, 14, 29mp2and 417 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
31 elnn0 8241 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32 0exp 9455 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
33 0le1 7550 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
3432, 33syl6eqbr 3829 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) ≤ 1)
35 oveq2 5548 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0))
36 0exp0e1 9425 . . . . . . . . . 10 (0↑0) = 1
37 1le1 7637 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 1
3836, 37eqbrtri 3811 . . . . . . . . 9 (0↑0) ≤ 1
3935, 38syl6eqbr 3829 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
4034, 39jaoi 646 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1)
4131, 40sylbi 118 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ 1)
42 1nn 8001 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
43 nnmulcl 8011 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4442, 23, 43sylancr 399 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
4544nnge1d 8032 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (1 · (!‘𝑁)))
46 0re 7085 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
47 reexpcl 9437 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
4846, 47mpan 408 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ∈ ℝ)
49 1re 7084 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
50 remulcl 7067 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
5149, 24, 50sylancr 399 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
52 letr 7160 . . . . . . . 8 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5349, 52mp3an2 1231 . . . . . . 7 (((0↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5448, 51, 53syl2anc 397 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
5541, 45, 54mp2and 417 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
5655adantl 266 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))
57 oveq1 5547 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁) = (0↑𝑁))
58 oveq12 5549 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝑀) = (0↑0))
5958anidms 383 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = (0↑0))
6059, 36syl6eq 2104 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑀) = 1)
6160oveq1d 5555 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁)))
6257, 61breq12d 3805 . . . . 5 (𝑀 = 0 → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6362adantr 265 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁))))
6456, 63mpbird 160 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
6530, 64jaoian 719 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
661, 65sylanb 272 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ≤ ((𝑀𝑀) · (!‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952  cle 7120  cn 7990  0cn0 8239  cz 8302  cuz 8569  cexp 9419  !cfa 9593
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-fac 9594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator