ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo GIF version

Theorem resqrexlemlo 9839
Description: Lemma for resqrex 9852. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → (2↑𝑤) = (2↑1))
21oveq2d 5555 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑1)))
3 fveq2 5205 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (𝐹𝑤) = (𝐹‘1))
42, 3breq12d 3804 . . . 4 (𝑤 = 1 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1)))
54imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 1 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))))
6 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → (2↑𝑤) = (2↑𝑘))
76oveq2d 5555 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑘)))
8 fveq2 5205 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑘))
97, 8breq12d 3804 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)))
109imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))))
11 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (2↑𝑤) = (2↑(𝑘 + 1)))
1211oveq2d 5555 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
13 fveq2 5205 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑤) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
1412, 13breq12d 3804 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → (2↑𝑤) = (2↑𝑁))
1716oveq2d 5555 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (1 / (2↑𝑤)) = (1 / (2↑𝑁)))
18 fveq2 5205 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑁))
1917, 18breq12d 3804 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → ((1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤) ↔ (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
2019imbi2d 223 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑤)) < (𝐹𝑤)) ↔ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))))
21 2cnd 8062 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2221exp1d 9543 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑1) = 2)
23 2rp 8685 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
2422, 23syl6eqel 2144 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑1) ∈ ℝ+)
2524rprecred 8731 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) ∈ ℝ)
26 1red 7099 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
27 resqrexlemex.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2826, 27readdcld 7113 . . . . 5 (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
2922oveq2d 5555 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (2↑1)) = (1 / 2))
30 halflt1 8198 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
3129, 30syl6eqbr 3828 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < 1)
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3326, 27addge01d 7597 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 1 ≤ (1 + 𝐴)))
3432, 33mpbid 139 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (1 + 𝐴))
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 7491 . . . 4 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (1 + 𝐴))
36 resqrexlemex.seq . . . . 5 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
3736, 27, 32resqrexlemf1 9834 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
3835, 37breqtrrd 3817 . . 3 (𝜑 → (1 / (2↑1)) < (𝐹‘1))
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℝ+)
40 nnz 8320 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
4140ad2antlr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4239, 41rpexpcld 9572 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
4342rpcnd 8721 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
44 2cnd 8062 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 ∈ ℂ)
4542rpap0d 8725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑𝑘) # 0)
4639rpap0d 8725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 2 # 0)
4743, 44, 45, 46recdivap2d 7857 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
48 nnnn0 8245 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
4948ad2antlr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5044, 49expp1d 9549 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (2↑(𝑘 + 1)) = ((2↑𝑘) · 2))
5150oveq2d 5555 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) = (1 / ((2↑𝑘) · 2)))
5247, 51eqtr4d 2091 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) = (1 / (2↑(𝑘 + 1))))
5342rprecred 8731 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) ∈ ℝ)
5436, 27, 32resqrexlemf 9833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5554ffvelrnda 5329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5655rpred 8719 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5756adantr 265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5827adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5958, 55rerpdivcld 8751 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6059adantr 265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐴 / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6157, 60readdcld 7113 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
62 simpr 107 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘))
6332adantr 265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
6458, 55, 63divge0d 8760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)))
6556, 59addge01d 7597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ (𝐴 / (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘)))))
6664, 65mpbid 139 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6766adantr 265 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 7491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑𝑘)) < ((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))))
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 8777 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7036, 27, 32resqrexlemfp1 9835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7170adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (((𝐹𝑘) + (𝐴 / (𝐹𝑘))) / 2))
7269, 71breqtrrd 3817 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → ((1 / (2↑𝑘)) / 2) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7352, 72eqbrtrrd 3813 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
7473ex 112 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1))))
7574expcom 113 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘) → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
7675a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → (1 / (2↑𝑘)) < (𝐹𝑘)) → (𝜑 → (1 / (2↑(𝑘 + 1))) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8005 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁)))
7877impcom 120 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  cfv 4929  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951   < clt 7118  cle 7119   / cdiv 7724  cn 7989  2c2 8039  0cn0 8238  cz 8301  +crp 8680  seqcseq 9374  cexp 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9375  df-iexp 9419
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  9844
  Copyright terms: Public domain W3C validator