Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2zrngmsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2zrngmsgrp 41718
 Description: R is a (multiplicative) semigroup. (Contributed by AV, 4-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zrngbas.r 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
2zrngmmgm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2zrngmsgrp 𝑀 ∈ SGrp
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑅   𝑥,𝐸,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zrngmsgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 2zrngbas.r . . 3 𝑅 = (ℂflds 𝐸)
3 2zrngmmgm.1 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
41, 2, 32zrngmmgm 41717 . 2 𝑀 ∈ Mgm
5 elrabi 3357 . . . . 5 (𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑎 ∈ ℤ)
6 elrabi 3357 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑦 ∈ ℤ)
7 elrabi 3357 . . . . 5 (𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} → 𝑏 ∈ ℤ)
85, 6, 73anim123i 1246 . . . 4 ((𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ))
9 zcn 11379 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
10 zcn 11379 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
11 zcn 11379 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
129, 10, 113anim123i 1246 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
13 mulass 10021 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏)))
148, 12, 133syl 18 . . 3 ((𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ∧ 𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}) → ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏)))
1514rgen3 2975 . 2 𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏))
161, 22zrngbas 41707 . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
173, 16mgpbas 18489 . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑀)
181, 17eqtr3i 2645 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} = (Base‘𝑀)
191, 22zrngmul 41716 . . . 4 · = (.r𝑅)
203, 19mgpplusg 18487 . . 3 · = (+g𝑀)
2118, 20issgrp 17279 . 2 (𝑀 ∈ SGrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑦 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ((𝑎 · 𝑦) · 𝑏) = (𝑎 · (𝑦 · 𝑏))))
224, 15, 21mpbir2an 955 1 𝑀 ∈ SGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  ∃wrex 2912  {crab 2915  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931   · cmul 9938  2c2 11067  ℤcz 11374  Basecbs 15851   ↾s cress 15852  Mgmcmgm 17234  SGrpcsgrp 17277  mulGrpcmgp 18483  ℂfldccnfld 19740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mgp 18484  df-cnfld 19741 This theorem is referenced by:  2zrngALT  41719
 Copyright terms: Public domain W3C validator