Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim3 33569
Description: Construct a new layer on top of 3 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem 3dim3
Dummy variables 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim2 33568 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
543adant3r1 1265 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)))
6 simpl2l 1106 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
7 simp3l 1081 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
8 simp1l 1077 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simp1r2 1150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
101, 3hlatjidm 33469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
118, 9, 10syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1211oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑄 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1312breq2d 4589 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
147, 13mtbird 313 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅))
15 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
1615oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 𝑄 → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑄 𝑄) 𝑅))
1716breq2d 4589 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1817notbid 306 . . . . . . . 8 (𝑃 = 𝑄 → (¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅)))
1918biimparc 502 . . . . . . 7 ((¬ 𝑣 ((𝑄 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2014, 19sylan 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
21 breq1 4580 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2221notbid 306 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2322rspcev 3281 . . . . . 6 ((𝑣𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
246, 20, 23syl2anc 690 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
25 simp2l 1079 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
2625ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → 𝑣𝐴)
277ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
281, 3hlatjass 33470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
29283ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
3029ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 (𝑄 𝑅)))
31 hllat 33464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
328, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝐾 ∈ Lat)
33 simp1r1 1149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃𝐴)
34 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3534, 3atbase 33390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
37 simp1r3 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → 𝑅𝐴)
3834, 1, 3hlatjcl 33467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
398, 9, 37, 38syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4032, 36, 393jca 1234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
4234, 2, 1latleeqj1 16832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅)))
4443biimpa 499 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 (𝑄 𝑅)) = (𝑄 𝑅))
4530, 44eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
4645breq2d 4589 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑅)))
4727, 46mtbird 313 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
4826, 47, 23syl2anc 690 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
49 simpl2r 1107 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑤𝐴)
5049ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑤𝐴)
518, 33, 93jca 1234 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5251ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
5337, 25jca 552 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
5453ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
55 simpl3r 1109 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
5655ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
57 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
58 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
591, 2, 33dimlem3a 33560 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6052, 54, 56, 57, 58, 59syl113anc 1329 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
61 breq1 4580 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6261notbid 306 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6362rspcev 3281 . . . . . . . 8 ((𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6450, 60, 63syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
65 simpl2l 1106 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑣𝐴)
6665ad2antrr 757 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → 𝑣𝐴)
6751ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
6853ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → (𝑅𝐴𝑣𝐴))
69 simpl3l 1108 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
7069ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑅))
71 simplr 787 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
72 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))
731, 2, 33dimlem4a 33563 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7467, 68, 70, 71, 72, 73syl113anc 1329 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7566, 74, 23syl2anc 690 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7664, 75pm2.61dan 827 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7748, 76pm2.61dan 827 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7824, 77pm2.61dane 2868 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣))) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
79783exp 1255 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((¬ 𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
8079rexlimdvv 3018 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (∃𝑣𝐴𝑤𝐴𝑣 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑅) 𝑣)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
815, 80mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ∃𝑠𝐴 ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452
This theorem is referenced by:  lvolex3N  33638  dalem18  33781  dvh4dimat  35541
  Copyright terms: Public domain W3C validator