MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvrcl 18592
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvrcl (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 18588 . . . 4 AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑𝑚 (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r𝑟)𝑦)) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓𝑥) + (𝑓𝑦))))})
21dmmptss 5533 . . 3 dom AbsVal ⊆ Ring
3 elfvdm 6114 . . 3 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ dom AbsVal)
42, 3sseldi 3565 . 2 (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5 abvf.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
64, 5eleq2s 2705 1 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899   class class class wbr 4577  dom cdm 5027  cfv 5789  (class class class)co 6526  𝑚 cmap 7721  0cc0 9792   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cle 9931  [,)cico 12006  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  .rcmulr 15717  0gc0g 15871  Ringcrg 18318  AbsValcabv 18587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fv 5797  df-abv 18588
This theorem is referenced by:  abvfge0  18593  abveq0  18597  abvmul  18600  abvtri  18601  abv0  18602  abv1z  18603  abvneg  18605  abvsubtri  18606  abvpropd  18613  abvmet  22137  nrgring  22224  tngnrg  22235  abvcxp  25048
  Copyright terms: Public domain W3C validator