Theorem abvrcl 19592

Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem abvrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-abv 19588	. . 3 ⊢ AbsVal = (𝑟 ∈ Ring ↦ {𝑓 ∈ ((0[,)+∞) ↑m (Base‘𝑟)) ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑟)(((𝑓‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑟)) ∧ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑟)((𝑓‘(𝑥(.r‘𝑟)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(𝑥(+g‘𝑟)𝑦)) ≤ ((𝑓‘𝑥) + (𝑓‘𝑦))))})
2	1	mptrcl 6777	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3		abvf.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
4	2, 3	eleq2s 2931	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  0cc0 10537   + caddc 10540   · cmul 10542  +∞cpnf 10672   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  0_gc0g 16713  Ringcrg 19297  AbsValcabv 19587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fv 6363  df-abv 19588

This theorem is referenced by:  abvfge0  19593  abveq0  19597  abvmul  19600  abvtri  19601  abv0  19602  abv1z  19603  abvneg  19605  abvsubtri  19606  abvpropd  19613  abvmet  23185  nrgring  23272  tngnrg  23283  abvcxp  26191