Theorem abvmet 23185

Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥 − 𝑦), analogously to cnmet 23380. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 19597 and abvtri 19601, abvneg 19605 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvmet.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvmet	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvmet.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		abvmet.m	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑅)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		abvmet.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5	4	abvrcl 19592	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 19302	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ Grp)
8	4, 1	abvf 19594	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
9	4, 1, 3	abveq0 19597	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g‘𝑅)))
10	4, 1, 2	abvsubtri 19606	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
11	10	3expb 1116	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ ((𝐹‘𝑥) + (𝐹‘𝑦)))
12	1, 2, 3, 7, 8, 9, 11	nrmmetd 23184	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (𝐹 ∘ − ) ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066   ∘ ccom 5559  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   + caddc 10540   ≤ cle 10676  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  Ringcrg 19297  AbsValcabv 19587  Metcmet 20531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-ico 12745  df-seq 13371  df-exp 13431  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-abv 19588  df-met 20539

This theorem is referenced by:  tngnrg  23283