MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 22127
Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥𝑦), analogously to cnmet 22313. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 18591 and abvtri 18595, abvneg 18599 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 abvmet.m . 2 = (-g𝑅)
3 eqid 2605 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
54abvrcl 18586 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 18317 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 18588 . 2 (𝐹𝐴𝐹:𝑋⟶ℝ)
94, 1, 3abveq0 18591 . 2 ((𝐹𝐴𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)))
104, 1, 2abvsubtri 18600 . . 3 ((𝐹𝐴𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
11103expb 1257 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 22126 1 (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  ccom 5028  cfv 5786  (class class class)co 6523   + caddc 9791  cle 9927  Basecbs 15637  0gc0g 15865  Grpcgrp 17187  -gcsg 17189  Ringcrg 18312  AbsValcabv 18581  Metcme 19495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-ico 12004  df-seq 12615  df-exp 12674  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-abv 18582  df-met 19503
This theorem is referenced by:  tngnrg  22217
  Copyright terms: Public domain W3C validator