MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvmet 22427
Description: An absolute value 𝐹 generates a metric defined by 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥𝑦), analogously to cnmet 22622. (In fact, the ring structure is not needed at all; the group properties abveq0 18874 and abvtri 18878, abvneg 18882 are sufficient.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvmet.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
abvmet.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvmet.m = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvmet (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem abvmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvmet.x . 2 𝑋 = (Base‘𝑅)
2 abvmet.m . 2 = (-g𝑅)
3 eqid 2651 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 abvmet.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
54abvrcl 18869 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 18598 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . 2 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
84, 1abvf 18871 . 2 (𝐹𝐴𝐹:𝑋⟶ℝ)
94, 1, 3abveq0 18874 . 2 ((𝐹𝐴𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)))
104, 1, 2abvsubtri 18883 . . 3 ((𝐹𝐴𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
11103expb 1285 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
121, 2, 3, 7, 8, 9, 11nrmmetd 22426 1 (𝐹𝐴 → (𝐹 ) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  ccom 5147  cfv 5926  (class class class)co 6690   + caddc 9977  cle 10113  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  Ringcrg 18593  AbsValcabv 18864  Metcme 19780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-abv 18865  df-met 19788
This theorem is referenced by:  tngnrg  22525
  Copyright terms: Public domain W3C validator