Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brfvidRP Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfvidRP 37806
Description: If two elements are connected by a value of the identity relation, then they are connected via the argument. This is an example which uses brmptiunrelexpd 37801. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
brfvidRP.r (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
brfvidRP (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵𝐴𝑅𝐵))

Proof of Theorem brfvidRP
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfid6 13762 . . 3 I = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ {1} (𝑟𝑟𝑛))
2 brfvidRP.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
3 1nn0 11305 . . . 4 1 ∈ ℕ0
4 snssi 4337 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → {1} ⊆ ℕ0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝜑 → {1} ⊆ ℕ0)
61, 2, 5brmptiunrelexpd 37801 . 2 (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵))
7 oveq2 6655 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
87breqd 4662 . . . 4 (𝑛 = 1 → (𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
98rexsng 4217 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
103, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ {1}𝐴(𝑅𝑟𝑛)𝐵𝐴(𝑅𝑟1)𝐵))
112relexp1d 13765 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
1211breqd 4662 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝑅𝑟1)𝐵𝐴𝑅𝐵))
136, 10, 123bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐴( I ‘𝑅)𝐵𝐴𝑅𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  wrex 2912  Vcvv 3198  wss 3572  {csn 4175   class class class wbr 4651   I cid 5021  cfv 5886  (class class class)co 6647  1c1 9934  0cn0 11289  𝑟crelexp 13754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-seq 12797  df-relexp 13755
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator