Theorem ccat2s1fvwALTOLD 14319

Description: Obsolete version of ccat2s1fvwALT 14318 as of 28-Jan-2024. Alternate proof of ccat2s1fvwOLD 13999 using words of length 2, see df-s2 14210. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1fvwALTOLD	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALTOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2	1	anim1i 616	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
3		3anass 1091	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)))
4	2, 3	sylibr 236	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
5		ccatw2s1ccatws2OLD 14317	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
6	5	fveq1d 6672	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
8	1	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		s2cl 14240	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
10	9	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
11		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
12		lencl 13883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12086	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
14	13	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
15		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 < (♯‘𝑊))
16		elfzo0z 13080	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)))
17	11, 14, 15, 16	syl3anbrc 1339	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
18	17	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19		ccatval1 13930	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
20	8, 10, 18, 19	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))
21	7, 20	eqtrd 2856	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < (♯‘𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537   < clt 10675  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ..^cfzo 13034  ♯chash 13691  Word cword 13862   ++ cconcat 13922  ⟨“cs1 13949  ⟨“cs2 14203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210

This theorem is referenced by: (None)