MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0zd 11518
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0zd (𝜑𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 11436 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
31, 2sseldi 3634 1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  nnzd  11519  eluzmn  11732  difelfznle  12492  zmodfz  12732  expnegz  12934  expaddzlem  12943  expaddz  12944  expmulz  12946  faclbnd  13117  bcpasc  13148  hashf1  13279  fz1isolem  13283  hashge2el2dif  13300  hashtpg  13305  wrdffz  13358  wrdsymb0  13371  wrdlenge1n0  13372  ccatcl  13392  ccatval3  13397  ccatsymb  13400  ccatval21sw  13403  ccatass  13406  ccatrn  13407  lswccatn0lsw  13409  ccats1val2  13447  swrdnd  13478  swrdtrcfv0  13488  swrdtrcfvl  13496  swrdccat1  13503  swrdccat2  13504  swrdccatin2  13533  swrdccatin12  13537  splfv2a  13553  splval2  13554  revcl  13556  revccat  13561  revrev  13562  cshwmodn  13587  cshwsublen  13588  cshwn  13589  cshwidxmod  13595  2cshwid  13606  3cshw  13610  cshweqdif2  13611  revco  13626  ccatco  13627  ccat2s1fvwALT  13744  ofccat  13754  zabscl  14097  absrdbnd  14125  iseraltlem3  14458  fsum0diaglem  14552  modfsummods  14569  binomlem  14605  binom1p  14607  incexc2  14614  climcndslem1  14625  geoser  14643  pwm1geoser  14644  geolim2  14646  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  mertens  14662  binomfallfaclem2  14815  binomrisefac  14817  fallfacval4  14818  bpolydiflem  14829  ruclem10  15012  sumodd  15158  divalglem9  15171  divalgmod  15176  divalgmodOLD  15177  bitsfzolem  15203  bitsfzo  15204  bitsmod  15205  bitsfi  15206  bitsinv1lem  15210  sadcaddlem  15226  sadadd3  15230  sadaddlem  15235  sadadd  15236  sadasslem  15239  sadass  15240  sadeq  15241  bitsres  15242  bitsuz  15243  bitsshft  15244  smuval2  15251  smupvallem  15252  smupval  15257  smueqlem  15259  smumullem  15261  smumul  15262  gcdcllem1  15268  zeqzmulgcd  15279  gcd0id  15287  gcdneg  15290  modgcd  15300  bezoutlem4  15306  dvdsgcdb  15309  gcdass  15311  mulgcd  15312  gcdzeq  15318  dvdsmulgcd  15321  bezoutr  15328  bezoutr1  15329  nn0seqcvgd  15330  algfx  15340  eucalginv  15344  eucalg  15347  gcddvdslcm  15362  lcmneg  15363  lcmgcdlem  15366  lcmdvds  15368  lcmgcdeq  15372  lcmdvdsb  15373  lcmass  15374  lcmftp  15396  lcmfunsnlem1  15397  lcmfunsnlem2lem1  15398  lcmfunsnlem2lem2  15399  lcmfunsnlem2  15400  lcmfdvdsb  15403  lcmfun  15405  lcmfass  15406  mulgcddvds  15416  rpmulgcd2  15417  qredeu  15419  divgcdcoprm0  15426  sqnprm  15461  divnumden  15503  powm2modprm  15555  coprimeprodsq  15560  iserodd  15587  pclem  15590  pcpre1  15594  pcpremul  15595  pcqcl  15608  pcdvdsb  15620  pcidlem  15623  pc2dvds  15630  pcprmpw2  15633  dvdsprmpweqle  15637  pcadd  15640  pcfac  15650  pcbc  15651  pockthlem  15656  prmreclem2  15668  prmreclem3  15669  mul4sqlem  15704  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  vdwapun  15725  prmgaplcmlem1  15802  lagsubg  17703  psgnuni  17965  psgnran  17981  odmodnn0  18005  mndodconglem  18006  mndodcong  18007  odmulg2  18018  odmulg  18019  odmulgeq  18020  odbezout  18021  odinv  18024  odf1  18025  gexod  18047  gexdvds3  18051  sylow1lem1  18059  sylow1lem3  18061  pgpfi  18066  pgpssslw  18075  sylow2alem2  18079  sylow2blem3  18083  fislw  18086  sylow3lem4  18091  sylow3lem6  18093  efginvrel2  18186  efgredlemf  18200  efgredlemd  18203  efgredlemc  18204  efgredlem  18206  efgcpbllemb  18214  odadd1  18297  odadd2  18298  gexexlem  18301  gexex  18302  torsubg  18303  lt6abl  18342  gsummulg  18388  ablfacrplem  18510  ablfacrp  18511  ablfacrp2  18512  ablfac1b  18515  ablfac1c  18516  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518  pgpfac1lem2  18520  pgpfaclem1  18526  ablfaclem3  18532  srgbinomlem3  18588  srgbinomlem4  18589  psrbaglefi  19420  chrid  19923  znunit  19960  psgnghm  19974  chfacfscmulfsupp  20712  chfacfpmmulfsupp  20716  cpmadugsumlemF  20729  dyadss  23408  dyaddisjlem  23409  ply1divex  23941  ply1termlem  24004  plyeq0lem  24011  plyaddlem1  24014  plymullem1  24015  coeeulem  24025  coeidlem  24038  coeeq2  24043  coemulhi  24055  dvply1  24084  dvply2g  24085  plydivex  24097  elqaalem2  24120  aareccl  24126  aannenlem1  24128  aalioulem1  24132  taylplem1  24162  taylplem2  24163  taylpfval  24164  dvtaylp  24169  taylthlem2  24173  dvradcnv  24220  abelthlem7  24237  cxpeq  24543  birthdaylem2  24724  ftalem1  24844  basellem3  24854  isppw2  24886  isnsqf  24906  mule1  24919  ppinncl  24945  musum  24962  chtublem  24981  pclogsum  24985  vmasum  24986  dchrabs  25030  bcmax  25048  bposlem1  25054  bposlem6  25059  lgsval2lem  25077  lgsmod  25093  lgsne0  25105  gausslemma2dlem0h  25133  gausslemma2dlem0i  25134  gausslemma2dlem2  25137  gausslemma2dlem6  25142  gausslemma2d  25144  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  lgsquadlem1  25150  m1lgs  25158  2lgslem1a  25161  2lgslem3a  25166  2lgslem3b  25167  2lgslem3c  25168  2lgslem3d  25169  2lgslem3d1  25173  2lgsoddprmlem2  25179  2sqlem8  25196  chebbnd1lem1  25203  dchrisumlem1  25223  dchrisum0flblem1  25242  selberg2lem  25284  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  finsumvtxdg2sstep  26501  finsumvtxdgeven  26504  vtxdgoddnumeven  26505  redwlklem  26624  wlkdlem1  26635  pthdlem1  26718  crctcshwlkn0lem4  26761  wwlksnredwwlkn0  26859  wwlksnextproplem2  26873  clwwlkwwlksb  27018  clwwlkndivn  27044  eupth2lem3lem3  27208  eupth2lem3lem4  27209  eupth2lem3  27214  eupth2lems  27216  clwwlkccatlem  27331  numclwwlk5  27375  numclwwlk6  27377  ex-ind-dvds  27448  nndiffz1  29676  2sqcoprm  29775  2sqmod  29776  archirng  29870  archirngz  29871  archiabllem1a  29873  madjusmdetlem4  30024  qqhval2lem  30153  oddpwdc  30544  eulerpartlems  30550  eulerpartlemb  30558  sseqfv1  30579  sseqfn  30580  sseqmw  30581  sseqf  30582  sseqfv2  30584  sseqp1  30585  ccatmulgnn0dir  30747  signsplypnf  30755  signsply0  30756  signslema  30767  signstfvn  30774  signstfvp  30776  signstfvc  30779  fsum2dsub  30813  reprinfz1  30828  reprfi2  30829  hashrepr  30831  reprdifc  30833  breprexplema  30836  breprexplemc  30838  circlemeth  30846  circlevma  30848  circlemethhgt  30849  hgt750lema  30863  tgoldbachgtde  30866  subfacval3  31297  bcprod  31750  bccolsum  31751  fwddifnp1  32397  knoppndvlem6  32633  knoppndvlem7  32634  knoppndvlem10  32637  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem16  32643  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem21  32648  dfgcd3  33300  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem13  33552  poimirlem14  33553  poimirlem17  33556  poimirlem21  33560  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem26  33565  poimirlem27  33566  poimirlem31  33570  geomcau  33685  eldioph2lem1  37640  pellexlem5  37714  congrep  37857  jm2.18  37872  jm2.19lem1  37873  jm2.19lem2  37874  jm2.19  37877  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.25  37883  jm2.26a  37884  jm2.26lem3  37885  jm2.26  37886  jm2.27a  37889  jm2.27b  37890  jm2.27c  37891  jm3.1  37904  expdiophlem1  37905  hbtlem5  38015  radcnvrat  38830  nzin  38834  bccbc  38861  binomcxplemnn0  38865  binomcxplemnotnn0  38872  fprodexp  40144  mccllem  40147  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  wallispilem1  40600  wallispilem5  40604  stirlinglem3  40611  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem8  40616  fourierdlem102  40743  fourierdlem114  40755  sqwvfoura  40763  elaa2lem  40768  etransclem10  40779  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem23  40792  etransclem24  40793  etransclem27  40796  etransclem28  40797  etransclem35  40804  etransclem38  40807  etransclem44  40813  etransclem45  40814  etransclem46  40815  sge0ad2en  40966  fsummmodsnunz  41670  pfxtrcfv0  41727  pfxtrcfvl  41730  pfxccat1  41735  pfxccatin12  41750  pfxccatpfx2  41753  pfxccat3a  41754  fmtnoge3  41767  fmtnof1  41772  fmtnorec1  41774  sqrtpwpw2p  41775  fmtnodvds  41781  goldbachthlem2  41783  fmtnoprmfac2lem1  41803  pwm1geoserALT  41827  lighneallem3  41849  lighneallem4b  41851  lighneallem4  41852  ssnn0ssfz  42452  altgsumbcALT  42456  flnn0ohalf  42653  dig2nn1st  42724  0dig2nn0o  42732  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator