Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1fvwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1fvwALT 13627
 Description: Alternate proof of ccat2s1fvw 13348 using words of length 2, see df-s2 13525. A symbol of the concatenation of a word with two single symbols corresponding to the symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1fvwALT (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem ccat2s1fvwALT
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
21anim1i 591 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
3 3anass 1040 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)))
42, 3sylibr 224 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉))
5 ccatw2s1ccatws2 13626 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩))
65fveq1d 6152 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
74, 6syl 17 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼))
81adantr 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 s2cl 13554 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
109adantl 482 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
11 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
12 lencl 13258 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 11424 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
14133ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
15 simp3 1061 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 < (#‘𝑊))
16 elfzo0z 12447 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
1711, 14, 15, 16syl3anbrc 1244 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
1817adantr 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
19 ccatval1 13295 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
208, 10, 18, 19syl3anc 1323 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
217, 20eqtrd 2660 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881   < clt 10019  ℕ0cn0 11237  ℤcz 11322  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228  ⟨“cs2 13518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-s2 13525 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator