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Theorem cdleme42h 35589
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 8-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme41.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme41.l = (le‘𝐾)
cdleme41.j = (join‘𝐾)
cdleme41.m = (meet‘𝐾)
cdleme41.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme41.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme41.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme41.d 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme41.e 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdleme41.i 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
cdleme41.n 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme41.o 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
cdleme41.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
cdleme34e.v 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme42h ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑅) 𝑉))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑈,𝑠   𝑊,𝑠   𝑦,𝑡,𝐴,𝑠   𝐵,𝑠,𝑡,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐺   𝐸,𝑠,𝑦   𝐻,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝐾,𝑠,𝑡,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡, ,𝑦   𝑡,𝑃,𝑦   𝑡,𝑄,𝑦   𝑡,𝑅,𝑦   𝑡,𝑆,𝑦   𝑡,𝑈,𝑦   𝑡,𝑊,𝑦   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑧   𝑧,𝐸,𝑠   𝑧,𝐻   𝑥, ,𝑧   𝑧,𝐾   𝑥, ,𝑧   𝑥, ,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑃,𝑧   𝑥,𝑄,𝑧   𝑥,𝑅,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧   𝑥,𝑊,𝑧,𝑠,𝑡,𝑦   𝑉,𝑠,𝑡,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐸(𝑥,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐻(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑥)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem cdleme42h
StepHypRef Expression
1 simp11l 1170 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34469 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp1 1059 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
5 simp2rl 1128 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑆𝐴)
6 cdleme41.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdleme41.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7atbase 34395 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆𝐵)
95, 8syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑆𝐵)
10 cdleme41.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 cdleme41.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
12 cdleme41.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
13 cdleme41.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdleme41.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
15 cdleme41.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
16 cdleme41.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑡 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑡) 𝑊)))
17 cdleme41.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐸 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
18 cdleme41.i . . . . 5 𝐼 = (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑃 𝑄)) → 𝑦 = 𝐺))
19 cdleme41.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐼, 𝐷)
20 cdleme41.o . . . . 5 𝑂 = (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (𝑁 (𝑥 𝑊))))
21 cdleme41.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), 𝑂, 𝑥))
226, 10, 11, 12, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme32fvcl 35547 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐵)
234, 9, 22syl2anc 692 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ∈ 𝐵)
24 cdleme34e.v . . . 4 𝑉 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
25 simp2ll 1126 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑅𝐴)
266, 11, 7hlatjcl 34472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
271, 25, 5, 26syl3anc 1324 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
28 simp11r 1171 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊𝐻)
296, 13lhpbase 35103 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑊𝐵)
316, 12latmcl 17033 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
323, 27, 30, 31syl3anc 1324 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
3324, 32syl5eqel 2703 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑉𝐵)
346, 10, 11latlej1 17041 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑆) ∈ 𝐵𝑉𝐵) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑆) 𝑉))
353, 23, 33, 34syl3anc 1324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑆) 𝑉))
3611, 7hlatjcom 34473 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
371, 25, 5, 36syl3anc 1324 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅 𝑆) = (𝑆 𝑅))
3837oveq1d 6650 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) = ((𝑆 𝑅) 𝑊))
3924, 38syl5eq 2666 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑉 = ((𝑆 𝑅) 𝑊))
4039oveq2d 6651 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
41 simp2r 1086 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
42 simp2l 1085 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
43 simp3 1061 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → 𝑃𝑄)
44 eqid 2620 . . . . . 6 ((𝑆 𝑅) 𝑊) = ((𝑆 𝑅) 𝑊)
456, 10, 11, 12, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 44cdleme42g 35588 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑆 𝑅)) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
464, 41, 42, 43, 45syl121anc 1329 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑆 𝑅)) = ((𝐹𝑆) ((𝑆 𝑅) 𝑊)))
4740, 46eqtr4d 2657 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = (𝐹‘(𝑆 𝑅)))
4837fveq2d 6182 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = (𝐹‘(𝑆 𝑅)))
496, 10, 11, 12, 7, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24cdleme42g 35588 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹‘(𝑅 𝑆)) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
5047, 48, 493eqtr2d 2660 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ((𝐹𝑆) 𝑉) = ((𝐹𝑅) 𝑉))
5135, 50breqtrd 4670 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → (𝐹𝑆) ((𝐹𝑅) 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ifcif 4077   class class class wbr 4644   ↦ cmpt 4720  ‘cfv 5876  ℩crio 6595  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  joincjn 16925  meetcmee 16926  Latclat 17026  Atomscatm 34369  HLchlt 34456  LHypclh 35089 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-riotaBAD 34058 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-undef 7384  df-preset 16909  df-poset 16927  df-plt 16939  df-lub 16955  df-glb 16956  df-join 16957  df-meet 16958  df-p0 17020  df-p1 17021  df-lat 17027  df-clat 17089  df-oposet 34282  df-ol 34284  df-oml 34285  df-covers 34372  df-ats 34373  df-atl 34404  df-cvlat 34428  df-hlat 34457  df-llines 34603  df-lplanes 34604  df-lvols 34605  df-lines 34606  df-psubsp 34608  df-pmap 34609  df-padd 34901  df-lhyp 35093 This theorem is referenced by:  cdleme42i  35590
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