Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatjcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatjcom 34972
Description: Commutatitivity of join operation. Frequently-used special case of latjcom 17106 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatjcom.j = (join‘𝐾)
hlatjcom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatjcom ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem hlatjcom
StepHypRef Expression
1 hllat 34968 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2651 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatjcom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 34894 . 2 (𝑋𝐴𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
52, 3atbase 34894 . 2 (𝑌𝐴𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
6 hlatjcom.j . . 3 = (join‘𝐾)
72, 6latjcom 17106 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
81, 4, 5, 7syl3an 1408 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  joincjn 16991  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-lub 17021  df-join 17023  df-lat 17093  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956
This theorem is referenced by:  hlatj12  34975  hlatjrot  34977  hlatlej2  34980  atbtwnex  35052  3noncolr2  35053  hlatcon2  35056  3dimlem2  35063  3dimlem3  35065  3dimlem3OLDN  35066  3dimlem4  35068  3dimlem4OLDN  35069  ps-1  35081  hlatexch4  35085  lplnribN  35155  4atlem10  35210  4atlem11  35213  dalemswapyz  35260  dalem-cly  35275  dalemswapyzps  35294  dalem24  35301  dalem25  35302  dalem44  35320  2llnma1  35391  2llnma3r  35392  2llnma2rN  35394  llnexchb2  35473  dalawlem4  35478  dalawlem5  35479  dalawlem9  35483  dalawlem11  35485  dalawlem12  35486  dalawlem15  35489  4atexlemex2  35675  4atexlemcnd  35676  ltrncnv  35750  trlcnv  35770  cdlemc6  35801  cdleme7aa  35847  cdleme12  35876  cdleme15a  35879  cdleme15c  35881  cdleme17c  35893  cdlemeda  35903  cdleme19a  35908  cdleme19e  35912  cdleme20bN  35915  cdleme20g  35920  cdleme20m  35928  cdleme21c  35932  cdleme22f  35951  cdleme22g  35953  cdleme35b  36055  cdleme35f  36059  cdleme37m  36067  cdleme39a  36070  cdleme42h  36087  cdleme43aN  36094  cdleme43bN  36095  cdleme43dN  36097  cdleme46f2g2  36098  cdleme46f2g1  36099  cdlemeg46c  36118  cdlemeg46nlpq  36122  cdlemeg46ngfr  36123  cdlemeg46rgv  36133  cdlemeg46gfv  36135  cdlemg2kq  36207  cdlemg4a  36213  cdlemg4d  36218  cdlemg4  36222  cdlemg8c  36234  cdlemg11aq  36243  cdlemg10a  36245  cdlemg12g  36254  cdlemg12  36255  cdlemg13  36257  cdlemg17pq  36277  cdlemg18b  36284  cdlemg18c  36285  cdlemg19  36289  cdlemg21  36291  cdlemk7  36453  cdlemk7u  36475  cdlemkfid1N  36526  dia2dimlem1  36670  dia2dimlem3  36672  dihjatcclem3  37026  dihjat  37029
  Copyright terms: Public domain W3C validator