Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg44 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg44 36338
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg44.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg44.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg44.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg44 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))

Proof of Theorem cdlemg44
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2651 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg44.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 35610 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
543ad2ant1 1102 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
6 simp11 1111 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simp12l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1195 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝐺𝑇)
9 cdlemg44.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
103, 9ltrnco 36324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
116, 7, 8, 10syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
123, 9ltrnco 36324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
136, 8, 7, 12syl3anc 1366 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
14 3simpc 1080 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15 simp13 1113 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
16 cdlemg44.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
173, 9, 16, 1, 2cdlemg44b 36337 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹‘(𝐺𝑝)) = (𝐺‘(𝐹𝑝)))
186, 7, 8, 14, 15, 17syl131anc 1379 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹‘(𝐺𝑝)) = (𝐺‘(𝐹𝑝)))
19 simp12 1112 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
20 simp2 1082 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
211, 2, 3, 9ltrncoval 35749 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺𝑝)))
226, 19, 20, 21syl3anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑝) = (𝐹‘(𝐺𝑝)))
231, 2, 3, 9ltrncoval 35749 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐺𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹𝑝)))
246, 8, 7, 20, 23syl121anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐺𝐹)‘𝑝) = (𝐺‘(𝐹𝑝)))
2518, 22, 243eqtr4d 2695 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → ((𝐹𝐺)‘𝑝) = ((𝐺𝐹)‘𝑝))
261, 2, 3, 9cdlemd 35812 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ ((𝐹𝐺)‘𝑝) = ((𝐺𝐹)‘𝑝)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
276, 11, 13, 14, 25, 26syl311anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
2827rexlimdv3a 3062 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊 → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)))
295, 28mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942   class class class wbr 4685  ccom 5147  cfv 5926  lecple 15995  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-llines 35102  df-lplanes 35103  df-lvols 35104  df-lines 35105  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764
This theorem is referenced by:  cdlemg47  36341  ltrncom  36343
  Copyright terms: Public domain W3C validator