Theorem cfili 23866

Description: Property of a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfili	⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cfili

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cfil 23853	. . . . . . 7 ⊢ CauFil = (𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ {𝑓 ∈ (Fil‘dom dom 𝑑) ∣ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑓 (𝑑 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)})
2	1	mptrcl 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met)
3		xmetunirn 22942	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ∪ ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
4	2, 3	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
5		iscfil2 23864	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)))
7	6	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ∈ (Fil‘dom dom 𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟))
8	7	simprd 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟)
9		breq2 5063	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
10	9	2ralbidv 3198	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
11	10	rexbidv 3296	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅))
12	11	rspccva 3619	. 2 ⊢ ((∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑟 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)
13	8, 12	sylan 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦𝐷𝑧) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3137  ∃wrex 3138  {crab 3141   ⊆ wss 3929  ∪ cuni 4831   class class class wbr 5059   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549   “ cima 5551  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  0cc0 10530   < clt 10668  ℝ⁺crp 12383  [,)cico 12734  ∞Metcxmet 20525  Filcfil 22448  CauFilccfil 23850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-2 11694  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-xmet 20533  df-fbas 20537  df-fil 22449  df-cfil 23853

This theorem is referenced by:  cfil3i  23867  fgcfil  23869  iscmet3  23891  cfilres  23894