MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 22972
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 22971 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2 xmetf 22044 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32ad3antrrr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
4 ffun 6005 . . . . . . . 8 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → Fun 𝐷)
6 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
7 filelss 21566 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
86, 7sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
9 xpss12 5186 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
108, 8, 9syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
11 fdm 6008 . . . . . . . . 9 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
1310, 12sseqtr4d 3621 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷)
14 funimassov 6764 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
155, 13, 14syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
16 0xr 10030 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ∈ ℝ*)
18 simpllr 798 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1918rpxrd 11817 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 simp-4l 805 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
218sselda 3583 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
2221adantrr 752 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑧𝑋)
238sselda 3583 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑋)
2423adantrl 751 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑤𝑋)
25 xmetcl 22046 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
2620, 22, 24, 25syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
27 xmetge0 22059 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
2820, 22, 24, 27syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
29 elico1 12160 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
30 df-3an 1038 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3129, 30syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
3231baibd 947 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3317, 19, 26, 28, 32syl22anc 1324 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
34332ralbidva 2982 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3515, 34bitrd 268 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3635rexbidva 3042 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3736ralbidva 2979 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3837pm5.32da 672 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
391, 38bitrd 268 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613   × cxp 5072  dom cdm 5074  cima 5077  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  +crp 11776  [,)cico 12119  ∞Metcxmt 19650  Filcfil 21559  CauFilccfil 22958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-xmet 19658  df-fbas 19662  df-fil 21560  df-cfil 22961
This theorem is referenced by:  cfili  22974  fgcfil  22977  iscfil3  22979  cfilresi  23001  cfilres  23002
  Copyright terms: Public domain W3C validator