MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatleglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatleglb 17047
Description: Two ways of expressing "less than or equal to the greatest lower bound." (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglb.l = (le‘𝐾)
clatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatleglb ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐺   𝑦,𝐾   𝑦,   𝑦,𝑆   𝑦,𝑋

Proof of Theorem clatleglb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clatglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatglb.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
3 clatglb.g . . . . . . 7 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatglble 17046 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
543expa 1262 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
653adantl2 1216 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) 𝑦)
7 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
8 clatl 17037 . . . . . 6 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
97, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
10 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑋𝐵)
111, 3clatglbcl 17035 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
12113adant2 1078 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
1312adantr 481 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
14 ssel 3577 . . . . . . 7 (𝑆𝐵 → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
15143ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑦𝑆𝑦𝐵))
1615imp 445 . . . . 5 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
171, 2lattr 16977 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
189, 10, 13, 16, 17syl13anc 1325 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝑋 (𝐺𝑆) ∧ (𝐺𝑆) 𝑦) → 𝑋 𝑦))
196, 18mpan2d 709 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑋 (𝐺𝑆) → 𝑋 𝑦))
2019ralrimdva 2963 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) → ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
211, 2, 3clatglb 17045 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 (𝐺𝑆) 𝑦 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆))))
2221simprd 479 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)))
23 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 𝑦𝑋 𝑦))
2423ralbidv 2980 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
25 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 (𝐺𝑆) ↔ 𝑋 (𝐺𝑆)))
2624, 25imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2726rspccv 3292 . . . . . 6 (∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑧 𝑦𝑧 (𝐺𝑆)) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2822, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆))))
2928ex 450 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → (𝑆𝐵 → (𝑋𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
3029com23 86 . . 3 (𝐾 ∈ CLat → (𝑋𝐵 → (𝑆𝐵 → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))))
31303imp 1254 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦𝑋 (𝐺𝑆)))
3220, 31impbid 202 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝐵𝑆𝐵) → (𝑋 (𝐺𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 𝑋 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  glbcglb 16864  Latclat 16966  CLatccla 17028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-oprab 6608  df-poset 16867  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-lat 16967  df-clat 17029
This theorem is referenced by:  clatglbss  17048  pmapglbx  34532  diaglbN  35821  dihglblem2N  36060  dihglbcpreN  36066  dihglblem6  36106  dochvalr  36123
  Copyright terms: Public domain W3C validator