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Theorem climcn2 14252
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn2.3a (𝜑𝐴𝐶)
climcn2.3b (𝜑𝐵𝐷)
climcn2.4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
climcn2.5a (𝜑𝐺𝐴)
climcn2.5b (𝜑𝐻𝐵)
climcn2.6 (𝜑𝐾𝑊)
climcn2.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
climcn2.8a ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
climcn2.8b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
climcn2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn2 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝐶   𝐷,𝑘,𝑢,𝑣   𝑦,𝑘,𝑧,𝐻,𝑣   𝑥,𝑘,𝜑,𝑢,𝑦,𝑧,𝑣   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑍,𝑦,𝑧   𝐵,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simprl 793 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2627 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 14171 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10 simprr 795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
11 eqidd 2627 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐵)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐻𝐵)
142, 4, 10, 11, 13climi2 14171 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)
152rexanuz2 14018 . . . . . . . 8 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
169, 14, 15sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
172uztrn2 11649 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
20 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐴) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
2120fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑢𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
2221breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
2322anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧)))
24 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹𝑣))
2524oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)))
2625fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))))
2726breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2823, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
29 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (𝑣𝐵) = ((𝐻𝑘) − 𝐵))
3029fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(𝑣𝐵)) = (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)))
3130breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
3231anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)))
33 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
3433oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵)))
3534fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))))
3635breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3732, 36imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3828, 37rspc2v 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3918, 19, 38syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4039imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4140an32s 845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4217, 41sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4342anassrs 679 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4443ralimdva 2961 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4544reximdva 3016 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4645ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4746adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4816, 47mpid 44 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4948rexlimdvva 3036 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
5049adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
511, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
5251ralrimiva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
53 climcn2.6 . . 3 (𝜑𝐾𝑊)
54 climcn2.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
55 climcn2.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
56 climcn2.3a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
57 climcn2.3b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
5855, 56, 57caovcld 6781 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5918, 19jca 554 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷))
6055ralrimivva 2970 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6160adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6224eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ))
6333eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6462, 63rspc2v 3311 . . . 4 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6559, 61, 64sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 14165 . 2 (𝜑 → (𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
6752, 66mpbird 247 1 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879   < clt 10019  cmin 10211  cz 11322  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13903  cli 14144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-neg 10214  df-z 11323  df-uz 11632  df-clim 14148
This theorem is referenced by:  climadd  14291  climmul  14292  climsub  14293
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