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Theorem climcn2 14367
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn2.3a (𝜑𝐴𝐶)
climcn2.3b (𝜑𝐵𝐷)
climcn2.4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
climcn2.5a (𝜑𝐺𝐴)
climcn2.5b (𝜑𝐻𝐵)
climcn2.6 (𝜑𝐾𝑊)
climcn2.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
climcn2.8a ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
climcn2.8b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
climcn2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn2 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝐶   𝐷,𝑘,𝑢,𝑣   𝑦,𝑘,𝑧,𝐻,𝑣   𝑥,𝑘,𝜑,𝑢,𝑦,𝑧,𝑣   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑍,𝑦,𝑧   𝐵,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 14286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
11 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐵)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐻𝐵)
142, 4, 10, 11, 13climi2 14286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)
152rexanuz2 14133 . . . . . . . 8 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
169, 14, 15sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
172uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
20 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐴) = ((𝐺𝑘) − 𝐴))
2120fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑢𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
2221breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
2322anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧)))
24 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹𝑣))
2524oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)))
2625fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))))
2726breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2823, 27imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
29 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (𝑣𝐵) = ((𝐻𝑘) − 𝐵))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(𝑣𝐵)) = (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)))
3130breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
3231anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)))
33 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
3433oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵)) = (((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵)))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))))
3635breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3732, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3828, 37rspc2v 3353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3918, 19, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4039imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4140an32s 863 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4217, 41sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4342anassrs 681 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4443ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4544reximdva 3046 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4645ex 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4746adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4816, 47mpid 44 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4948rexlimdvva 3067 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
5049adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
511, 50mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
5251ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
53 climcn2.6 . . 3 (𝜑𝐾𝑊)
54 climcn2.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
55 climcn2.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
56 climcn2.3a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
57 climcn2.3b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
5855, 56, 57caovcld 6869 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5918, 19jca 553 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷))
6055ralrimivva 3000 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6160adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
6224eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ))
6333eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6462, 63rspc2v 3353 . . . 4 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6559, 61, 64sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
662, 3, 53, 54, 58, 65clim2c 14280 . 2 (𝜑 → (𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
6752, 66mpbird 247 1 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   < clt 10112  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  climadd  14406  climmul  14407  climsub  14408
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