Theorem uztrn2 12263

Description: Transitive law for sets of upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
uztrn2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
uztrn2	⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem uztrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uztrn2.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝐾)
2	1	eleq2i 2904	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		uztrn 12262	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
4	3	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
5	2, 4	sylanb 583	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
6	5, 1	eleqtrrdi 2924	1 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  eluznn0  12318  eluznn  12319  elfzuz2  12913  rexuz3  14708  r19.29uz  14710  r19.2uz  14711  clim2  14861  clim2c  14862  clim0c  14864  rlimclim1  14902  2clim  14929  climabs0  14942  climcn1  14948  climcn2  14949  climsqz  14997  climsqz2  14998  clim2ser  15011  clim2ser2  15012  climub  15018  climsup  15026  caurcvg2  15034  serf0  15037  iseraltlem1  15038  iseralt  15041  cvgcmp  15171  cvgcmpce  15173  isumsup2  15201  mertenslem1  15240  clim2div  15245  ntrivcvgfvn0  15255  ntrivcvgmullem  15257  fprodeq0  15329  lmbrf  21868  lmss  21906  lmres  21908  txlm  22256  uzrest  22505  lmmcvg  23864  lmmbrf  23865  iscau4  23882  iscauf  23883  caucfil  23886  iscmet3lem3  23893  iscmet3lem1  23894  lmle  23904  lmclim  23906  mbflimsup  24267  ulm2  24973  ulmcaulem  24982  ulmcau  24983  ulmss  24985  ulmdvlem1  24988  ulmdvlem3  24990  mtest  24992  itgulm  24996  logfaclbnd  25798  bposlem6  25865  caures  35050  caushft  35051  dvgrat  40664  cvgdvgrat  40665  climinf  41907  clim2f  41937  clim2cf  41951  clim0cf  41955  clim2f2  41971  fnlimfvre  41975  allbutfifvre  41976  limsupvaluz2  42039  limsupreuzmpt  42040  supcnvlimsup  42041  climuzlem  42044  climisp  42047  climrescn  42049  climxrrelem  42050  climxrre  42051  limsupgtlem  42078  liminfreuzlem  42103  liminfltlem  42105  liminflimsupclim  42108  xlimpnfxnegmnf  42115  liminflbuz2  42116  liminfpnfuz  42117  liminflimsupxrre  42118  xlimmnfvlem2  42134  xlimmnfv  42135  xlimpnfvlem2  42138  xlimpnfv  42139  xlimmnfmpt  42144  xlimpnfmpt  42145  climxlim2lem  42146  xlimpnfxnegmnf2  42159  meaiuninc3v  42786  smflimlem1  43067  smflimlem2  43068  smflimlem3  43069  smflimmpt  43104  smflimsuplem4  43117  smflimsuplem7  43120  smflimsupmpt  43123  smfliminfmpt  43126