MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrval 23922
Description: Value of the degree function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
dgrval (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))

Proof of Theorem dgrval
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 23894 . . 3 (Poly‘𝑆) ⊆ (Poly‘ℂ)
21sseli 3584 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℂ))
3 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝐹))
4 dgrval.1 . . . . . . 7 𝐴 = (coeff‘𝐹)
53, 4syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (coeff‘𝑓) = 𝐴)
65cnveqd 5268 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹(coeff‘𝑓) = 𝐴)
76imaeq1d 5434 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})) = (𝐴 “ (ℂ ∖ {0})))
87supeq1d 8312 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → sup(((coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
9 df-dgr 23885 . . 3 deg = (𝑓 ∈ (Poly‘ℂ) ↦ sup(((coeff‘𝑓) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
10 nn0ssre 11256 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
11 ltso 10078 . . . . 5 < Or ℝ
12 soss 5023 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
1310, 11, 12mp2 9 . . . 4 < Or ℕ0
1413supex 8329 . . 3 sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ V
158, 9, 14fvmpt 6249 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘ℂ) → (deg‘𝐹) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
162, 15syl 17 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((𝐴 “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3557  wss 3560  {csn 4155   Or wor 5004  ccnv 5083  cima 5087  cfv 5857  supcsup 8306  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896   < clt 10034  0cn0 11252  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-nn 10981  df-n0 11253  df-ply 23882  df-dgr 23885
This theorem is referenced by:  dgrcl  23927  dgrub  23928  dgrlb  23930  coe11  23947
  Copyright terms: Public domain W3C validator