Theorem djuinf 9614

Description: A set is infinite iff the cardinal sum with itself is infinite. (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djuinf	⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Proof of Theorem djuinf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8515	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5609	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		djudoml 9610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
4	2, 2, 3	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
5		domtr 8562	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
6	4, 5	mpdan 685	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
7	1	brrelex2i 5609	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
8		anidm 567	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ 𝐴 ∈ V)
9		djuexb 9338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
10	8, 9	bitr3i 279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V)
11	7, 10	sylibr 236	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
12		domeng 8523	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ∈ V → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
13	7, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ↔ ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))))
14	13	ibi 269	. . 3 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)))
15		indi 4250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)))
16		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴))
17		df-dju 9330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊔ 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))
18	16, 17	sseqtrdi 4017	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)))
19		df-ss 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴)) ↔ (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
20	18, 19	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → (𝑥 ∩ (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
21	15, 20	syl5eqr 2870	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) = 𝑥)
22		ensym 8558	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
23	22	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → 𝑥 ≈ ω)
24	21, 23	eqbrtrd 5088	. . . . 5 ⊢ ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω)
25		cdainflem 9613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω))
26		snex 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {∅} ∈ V
27		xpexg 7473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({∅} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
28	26, 27	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ∈ V)
29		inss2 4206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴)
30		ssdomg 8555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ⊆ ({∅} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴)))
31	28, 29, 30	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴))
32		0ex 5211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
33		xpsnen2g 8610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
34	32, 33	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 8568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
36	31, 34, 35	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
37		domen1 8659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
38	36, 37	syl5ibcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
39		snex 5332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1o} ∈ V
40		xpexg 7473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
41	39, 40	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ∈ V)
42		inss2 4206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴)
43		ssdomg 8555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({1o} × 𝐴) ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ⊆ ({1o} × 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴)))
44	41, 42, 43	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴))
45		1on 8109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ On
46		xpsnen2g 8610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝐴 ∈ V) → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
47	45, 46	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴)
48		domentr 8568	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ ({1o} × 𝐴) ∧ ({1o} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
49	44, 47, 48	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴)
50		domen1 8659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ 𝐴))
51	49, 50	syl5ibcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
52	38, 51	jaod 855	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ≈ ω ∨ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴)) ≈ ω) → ω ≼ 𝐴))
53	25, 52	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((𝑥 ∩ ({∅} × 𝐴)) ∪ (𝑥 ∩ ({1o} × 𝐴))) ≈ ω → ω ≼ 𝐴))
54	24, 53	syl5 34	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
55	54	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃𝑥(ω ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ (𝐴 ⊔ 𝐴)) → ω ≼ 𝐴))
56	11, 14, 55	sylc 65	. 2 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
57	6, 56	impbii 211	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 ↔ ω ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   class class class wbr 5066   × cxp 5553  Oncon0 6191  ωcom 7580  1_oc1o 8095   ≈ cen 8506   ≼ cdom 8507   ⊔ cdju 9327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-dju 9330

This theorem is referenced by:  infdif  9631